挖掘隐含条件,简化运算过程————从一道高考题的解答谈起

　 2000年全国高考统考卷第19题（理）：

设函数其中。

（Ⅰ）解不等式

（Ⅱ）求的取值范围，使函数在上是单调函数。

对该题的第（Ⅰ）题所列评分标准的解法如下：

解：不等式即

由此得即其中常数

所以原不等式等价于即

所以当时，所给不等式的解集为

　 当时，所给不等式的解集为。

该题的此种解法简洁明了、运算量少、实为妙法。探其“妙”就在于能由变形为后及时地挖掘出隐含条件，从而简化了运算过程。但极大部分考生只能由已知条件得到下列等价不等式组： 　即致使计算量较大且易出错。

在大量的数学问题中，确实存在这样的一类问题，除题目的显性条件外，存在着“隐含”条件。若在解题过程中能很好地发现运用“隐含”条件，常能拓展解题思路、优化解题过程、简化解题运算、减少无故的计算错误。现举几例，以供参考。

1、有效地挖掘出数学概念、定理中的隐含条件拓展解题思路、简化运算

　 例1：（96年）等差数列的前项和为30，前项和为100，则它的前项和为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　 ）

（A）130　 （B）170　 （C）210　 （D）260

[一般解法]：设等差数列的首项为、公差为；则由题意可得下列方程组：

　　　 解这个方程组得、

[分析与另解]：该题是考查等差数列的基础题，就题目本身并不难。大多学生在解题时是由题目的已知条件列出关于首项和公差的方程组，先求得首项和公差是一种通性通解的方法。但回顾整个计算过程，计算量并不小且一路字母运算，特别是在高考这种特定的、紧张的气氛下能拿到分确需有扎实的计算功底。若能仔细审题，从等差数列的概念着手挖掘如下性质，则可大大简化运算、节省时间。设为等差数列的前项和、为等差数列的第项到第项这项和，为等差数列的第项到第项这项和；易知、、三数成等差数列，则2=+