点和直线的位置关系、两直线的位置关系

一．基础知识

　 1．点P（x₀ ,y_o）在直线Ax+By+C=0 (A²+B²¹0)的位置关系是：若点在直线上，则Ax₀+By₀+C=0；若点在直线外，则当点P在直线上方且B >0时，有Ax₀+By₀+C >0，当点P在直线下方且B >0时，有Ax₀+By₀+C < 0，点P到直线的距离为d=．

2．两直线L₁：A₁x+B₁ y+C₁=0，L₂：A₂x+B₂ y+C₂=0 (或y=k₁x+b₁，y=k₂x+b₂)的位置关系

相交（斜交）：A₁B₂¹A₂B₁或K₁¹K₂；若交角为q，则有tgq =或tgq =

( 0<q <)；若直线L₁到直线L₂的角为q，则tgq =( 0≤q <p )．

垂直（直交）：A₁A₂+B₁B₂ = 0，或K₁K₂ = -1；交角q = 90°．

平行：A₁B₂=A₂B₁且B₁C₂¹B₂C₁或K₁=K₂且b₁ ¹ b₂；交角q = 0；两平行线间的距离d =．

重合：A₁B₂=A₂B₁且B₁C₂=B₂C₁．

3．若点P（x₁,y₁）和点Q（x₂,y₂）关于直线Ax+By+C=0成轴对称，则．

二．例题选讲

　 1．已知两直线l₁：x+m²y+6=0，l₂：(m-2)x+3my+2m=0．（1）m为何值时，直线l₁、l₂①相交；②平行；③重合；（2）在m=1时，求l₁关于l₂对称的直线l₃ 的方程．

2．（1）求过点P（2，3）且被二平行直线3x+4y-7=0、3x+4y+8=0截得的线段的长为3的直线的方程．（2）求过两直线3x+4y-5=0、2x-3y+8=0的交点，且与两点（2，3）、（-4，5）等距离的直线的方程．

3．（1）直线y=2x是△ABC中ÐC的平分线所在直线,若A,B坐标分别为A（-4，2）, B（3，1），求点C的坐标，并判断△ABC的形状．（2）△ABC中，点A 坐标为（1，2），三角形的两条高线方程分别为2x-3y+1=0、x+y=0，求BC边所在直线的方程和三角形三内角的大小．

4．（1）一条光线从A（-3，5）射到直线l：3x-4y+4=0，再反射到点B（2，15），求光线经过的最短路程，和入射线、反射线的方程．（2）已知点A（-2，2）、B（-3，-1），试在直线y=2x-1上分别求一点P、Q，使①|PA|+|PB|最小；②||QA|-|QB||最大．

5．（1）证明对mÎR，直线(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0恒过一定点；（2）若A+B+C=0，证明直线Ax+By+C=0恒过一个定点．

6．（1）若直线y=mx与曲线y =无公共点，求实数m的范围；（2）已知射线l₁：y=x

(x≥0)，l₂：y=-x (x≤0),在两射线的上方有一点P，到l₁、l₂的距离依次为2和2，

①　　 求点P的坐标；②设点P在l₁、l₂上的射影分别为A、B，求|AB|．

三．巩固练习

1．（1）两直线3x+2y+m=0、(m²+1)x-3y+2-3m=0的位置关系是…………………… (　 )

　　 （A）平行；（B）相交；（C）重合；（D）不确定．

（2）直线2x-3y+1=0和x-3=0的夹角是……………………………………………… (　 )

（A）；（B）；（C）；（D）．

（3）已知点A（-6，0）、B（0，8），点P在AB上，且AP：AB=3：5，则点P到直线15x+20y-16=0的距离为………………………………………………………………………………………… (　 )

（A）；（B）；（C）；（D）．

（4）如果直线l的斜率为m（m¹0），直线l的倾斜角的平分线的斜率为n则m、n满足的关系式是……………………………………………………………………………………………　　　 (　 )

（A）（1+mn）² =1+n²；（B）（1+mn）² =1+m²；（C）（1-n）² =1+m²；（D）（1-m）² =1+n²．