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  • 高考数学抛物线经典例题讲解教案

    教案作者:本站   教案来源:本站整理   教案栏目:高三数学教案    收藏本页
    抛物线习题精选精讲
    (1)抛物线——二次曲线的和谐线
    椭圆与双曲线都有两种定义方法,可抛物线只有一种:到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率e=1,这使它既与椭圆、双曲线相依相伴,又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的1,既使它享尽和谐之美,又生出多少华丽的篇章.
    【例1】P为抛物线 上任一点,F为焦点,则以PF为直径的圆与y轴(    )
     相交              相切               相离              位置由P确定
    【解析】如图,抛物线的焦点为 ,准线是
     .作PH⊥ 于H,交y轴于Q,那么 ,
    且 .作MN⊥y轴于N则MN是梯形PQOF的
    中位线, .故以
    PF为直径的圆与y轴相切,选B.
    【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说,其结论则
    分别是相离或相交的.
    (2)焦点弦——常考常新的亮点弦
    有关抛物线的试题,许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质,对破解这些试题是大有帮助的.
    【例2】 过抛物线 的焦点F作直线交抛物线于 两点,求证:
    (1)           (2)
    【证明】(1)如图设抛物线的准线为 ,作
      ,
     .两式相加即得:
     
    (2)当AB⊥x轴时,有
      成立;
    当AB与x轴不垂直时,设焦点弦AB的方程为: .代入抛物线方程:
     .化简得:
    ∵方程(1)之二根为x1,x2,∴ .
     
     .
    故不论弦AB与x轴是否垂直,恒有 成立.
    (3)切线——抛物线与函数有缘
    有关抛物线的许多试题,又与它的切线有关.理解并掌握抛物线的切线方程,是解题者不可或缺的基本功.
    【例3】证明:过抛物线 上一点M(x0,y0)的切线方程是:y0y=p(x+x0)
    【证明】对方程 两边取导数:
     .由点斜式方程:
      y0y=p(x+x0)
    (4)定点与定值——抛物线埋在深处的宝藏
     抛物线中存在许多不不易发现,却容易为人疏忽的定点和定值.掌握它们,在解题中常会有意想不到的收获.
    例如:1.一动圆的圆心在抛物线 上,且动圆恒与直线 相切,则此动圆必过定点                      (        )
     
    显然.本题是例1的翻版,该圆必过抛物线的焦点,选B.
    2.抛物线 的通径长为2p;
    3.设抛物线 过焦点的弦两端分别为 ,那么:
    以下再举一例
    【例4】设抛物线 的焦点弦AB在其准线上的射影是A1B1,证明:以A1B1为直径的圆必过一定点
    【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径,那么A1B1=AB=2p,而A1B1与AB的距离为p,可知该圆必过抛物线的焦点.由此我们猜想:一切这样的圆都过抛物线的焦点.以下我们对AB的一般情形给于证明.
    【证明】如图设焦点两端分别为 ,
    那么:
    设抛物线的准线交x轴于C,那么
     .
    这就说明:以A1B1为直径的圆必过该抛物线的焦点.
    ●  通法 特法 妙法
    (1)解析法——为对称问题解困排难
    解析几何是用代数的方法去研究几何,所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题(如对称问题等).
    【例5】(07.四川文科卷.10题)已知抛物线
    y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点
    A、B,则|AB|等于(          )
    A.3       B.4       C.3      D.4
    【分析】直线AB必与直线x+y=0垂直,且线段
    AB的中点必在直线x+y=0上,因得解法如下.
    【解析】∵点A、B关于直线x+y=0对称,∴设直线AB的方程为: .      由
    设方程(1)之两根为x1,x2,则 .
    设AB的中点为M(x0,y0),则 .代入x+y=0:y0= .故有 .
    从而 .直线AB的方程为: .方程(1)成为: .解得:
     ,从而 ,故得:A(-2,-1),B(1,2). ,选C.
    (2)几何法——为解析法添彩扬威
    虽然解析法使几何学得到长足的发展,但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算,这又使得许多考生对解析几何习题望而生畏.针对这种现状,人们研究出多种使计算量大幅度减少的优秀方法,其中最有成效的就是几何法.
    【例6】(07.全国1卷.11题)抛物线 的焦点为 ,准线为 ,经过 且斜率为 的直线与抛物线在 轴上方的部分相交于点 , ,垂足为 ,则 的面积(     )
    A.            B.             C.                D.
    【解析】如图直线AF的斜率为 时∠AFX=60°.
    △AFK为正三角形.设准线 交x轴于M,则
    且∠KFM=60°,∴ .选C.
    【评注】(1)平面几何知识:边长为a的正三角形的
    面积用公式 计算.
         (2)本题如果用解析法,需先列方程组求点A的坐标,,再计算正三角形的边长和面积.虽不是很难,但决没有如上的几何法简单.
    (3)定义法——追本求真的简单一着
    许多解析几何习题咋看起来很难.但如果返朴归真,用最原始的定义去做,反而特别简单.
    【例7】(07.湖北卷.7题)双曲线
     的左准线为 ,左焦点和右焦点分别为 和 ;抛物线 的线为 ,焦点为 与 的一个交点为 ,则 等于(    )
    A.              B.             C.           D.
    【分析】 这道题如果用解析法去做,计算会特别繁杂,而平面几何知识又一时用不上,那么就从最原始的定义方面去寻找出路吧.
    如图,我们先做必要的准备工作:设双曲线的半
    焦距c,离心率为e,作  ,令
     .∵点M在抛物线上,
     ,
    这就是说: 的实质是离心率e.
    其次, 与离心率e有什么关系?注意到:
     .
       这样,最后的答案就自然浮出水面了:由于 .∴选 A..
    (4)三角法——本身也是一种解析
    三角学蕴藏着丰富的解题资源.利用三角手段,可以比较容易地将异名异角的三角函数转化为同名同角的三角函数,然后根据各种三角关系实施“九九归一”——达到解题目的.
    因此,在解析几何解题中,恰当地引入三角资源,常可以摆脱困境,简化计算.
    【例8】(07.重庆文科.21题)如图,倾斜角为a的直线经过抛物线 的焦点F,且与抛物线交于A、B两点。
    (Ⅰ)求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程;
    (Ⅱ)若a为锐角,作线段AB的垂直平分线m交
    x轴于点P,证明|FP|-|FP|cos2a为定值,并求此定值。
    【解析】(Ⅰ)焦点F(2,0),准线 .
    (Ⅱ)直线AB:
     代入(1),整理得:
    设方程(2)之二根为y1,y2,则 .
    设AB中点为
    AB的垂直平分线方程是: .
    令y=0,则

    于是|FP|-|FP|cos2a= ,故为定值.
    (5)消去法——合理减负的常用方法.
    避免解析几何中的繁杂运算,是革新、创新的永恒课题.其中最值得推荐的优秀方法之一便是设而不求,它类似兵法上所说的“不战而屈人之兵”.
    【例9】 是否存在同时满足下列两条件的直线 :(1) 与抛物线 有两个不同的交点A和B;(2)线段AB被直线 :x+5y-5=0垂直平分.若不存在,说明理由,若存在,求出直线 的方程.
    【解析】假定在抛物线 上存在这样的两点
     
    ∵线段AB被直线 :x+5y-5=0垂直平分,且 
     .
    设线段AB的中点为 .代入x+5y-5=0得x=1.于是:
    AB中点为 .故存在符合题设条件的直线,其方程为:
       
    (6)探索法——奔向数学方法的高深层次
    有一些解析几何习题,初看起来好似“树高荫深,叫樵夫难以下手”.这时就得冷静分析,探索规律,不断地猜想——证明——再猜想——再证明.终于发现“无限风光在险峰”.
    【例10】(07.安徽卷.14题)如图,抛物线y=-x2+1与x轴的正半轴交于点A,将线段OA的n等分点从左至右依次记为P1,P2,…,Pn-1,过这些分点分别作x轴的垂线,与抛物线的交点依次为Q1,Q2,…,Qn-1,从而得到n-1个直角三角形△Q1OP1, △Q2P1P2,…, △Qn-1Pn-1Pn-1,当n→∞时,这些三角形的面积之和的极限为                  .
        【解析】∵
    设OA上第k个分点为
    第k个三角形的面积为:
         .
    故这些三角形的面积之和的极限
    抛物线定义的妙用
    对于抛物线有关问题的求解,若能巧妙地应用定义思考,常能化繁为简,优化解题思路,提高思维能力。现举例说明如下。
    一、求轨迹(或方程)
    例1. 已知动点M的坐标满足方程 ,则动点M的轨迹是( )
    A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 以上都不对
    解:由题意得:
    即动点 到直线 的距离等于它到原点(0,0)的距离
    由抛物线定义可知:动点M的轨迹是以原点(0,0)为焦点,以直线 为准线的抛物线。
    故选C。
    二、求参数的值
    例2. 已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上一点 到焦点距离为5,求m的值。
    解:设抛物线方程为 ,准线方程:
    ∵点M到焦点距离与到准线距离相等
     
    解得:
    ∴抛物线方程为
    把 代入得:
    三、求角
    例3. 过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点,若A、B在抛物线准线上的射影分别为 ,则 __________。
    A. 45° B. 60° C. 90° D. 120°
     
    图1
    解:如图1,由抛物线的定义知:
     

    由题意知:
     

    故选C。
    四、求三角形面积
    例4. 设O为抛物线的顶点,F为抛物线的焦点且PQ为过焦点的弦,若 , 。求△OPQ的面积。
    解析:如图2,不妨设抛物线方程为 ,点 、点
     
    图2
    则由抛物线定义知:
    又 ,则
    由 得:

    又PQ为过焦点的弦,所以

    所以,
    点评:将焦点弦分成两段,利用定义将焦点弦长用两端点横坐标表示,结合抛物线方程,利用韦达定理是常见的基本技能。
    五、求最值
    例5. 设P是抛物线 上的一个动点。
    (1)求点P到点A(-1,1)的距离与点P到直线 的距离之和的最小值;
    (2)若B(3,2),求 的最小值。
    解:(1)如图3,易知抛物线的焦点为F(1,0),准线是
    由抛物线的定义知:点P到直线 的距离等于点P到焦点F的距离。
    于是,问题转化为:在曲线上求一点P,使点P到点A(-1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小。
    显然,连结AF交曲线于P点,则所求最小值为 ,即为 。
     
    图3
    (2)如图4,自点B作BQ垂直准线于Q交抛物线于点 ,则
     ,则有
    即 的最小值为4
     
    图4
    点评:本题利用抛物线的定义,将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,从而构造出“两点间线段距离最短”,使问题获解。
    六、证明
    例6. 求证:以抛物线 过焦点的弦为直径的圆,必与此抛物线的准线相切。
    证明:如图5,设抛物线的准线为 ,过A、B两点分别作AC、BD垂直于 ,垂足分别为C、D。取线段AB中点M,作MH垂直 于H。
     
    图5
    由抛物线的定义有:
     
    ∵ABDC是直角梯形
     
    即 为圆的半径,而准线过半径MH的外端且与半径垂直,故本题得证。
    抛物线与面积问题
    抛物线与面积相结合的题目是近年来中考数学中常见的问题。解答此类问题时,要充分利用抛物线和面积的有关知识,重点把握相交坐标点的位置及坐标点之间的距离,得出相应的线段长或高,从而求解。
    例1. 如图1,二次函数 的图像与x轴交于A、B两点,其中A点坐标为(-1,0)。点C(0,5)、点D(1,8)在抛物线上,M为抛物线的顶点。
     
    图1
    (1)求抛物线的解析式;
    (2)求△MCB的面积。
    解:(1)设抛物线的解析式为
     ,根据题意得
     ,解得
    ∴所求的抛物线的解析式为
     
    (2)∵C点坐标为(0,5),∴OC=5
    令 ,则 ,
    解得
    ∴B点坐标为(5,0),OB=5
    ∵ ,
    ∴顶点M的坐标为(2,9)
    过点M作MN⊥AB于点N,
    则ON=2,MN=9

     
    例2. 如图2,面积为18的等腰直角三角形OAB的一条直角边OA在x轴上,二次函数 的图像过原点、A点和斜边OB的中点M。
     
    图2
    (1)求出这个二次函数的解析式和对称轴。
    (2)在坐标轴上是否存一点P,使△PMA中PA=PM,如果存在,写出P点的坐标,如果不存在,说明理由。
    解:(1)∵等腰直角△OAB的面积为18,
    ∴OA=OB=6
    ∵M是斜边OB的中点,

    ∴点A的坐标为(6,0)
    点M的坐标为(3,3)
    ∵抛物线
    ∴ ,解得
    ∴解析式为 ,
    对称轴为
    (2)答:在x轴、y轴上都存在点P,使△PAM中PA=PM。
    ①P点在x轴上,且满足PA=PM时,点P坐标为(3,0)。
    ②P点在y轴上,且满足PA=PM时,点P坐标为(0,-3)。
    例3. 二次函数 的图像一部分如图3,已知它的顶点M在第二象限,且经过点A(1,0)和点B(0,1)。
     
    图3
    (1)请判断实数a的取值范围,并说明理由。
    (2)设此二次函数的图像与x轴的另一个交点为c,当△AMC的面积为△ABC面积的 倍时,求a的值。
    解:(1)由图象可知: ;图象过点(0,1),所以c=1;图象过点(1,0),则 ;
    当 时,应有 ,则
    当 代入
    得 ,即
    所以,实数a的取值范围为 。
    (2)此时函数 ,
    要使
     ,
    可求得 。
    例4. 如图4,在同一直角坐标系内,如果x轴与一次函数 的图象以及分别过C(1,0)、D(4,0)两点且平行于y轴的两条直线所围成的图形ABDC的面积为7。
     
    图4
    (1)求K的值;
    (2)求过F、C、D三点的抛物线的解析式;
    (3)线段CD上的一个动点P从点D出发,以1单位/秒的速度沿DC的方向移动(点P不重合于点C),过P点作直线PQ⊥CD交EF于Q。当P从点D出发t秒后,求四边形PQFC的面积S与t之间的函数关系式,并确定t的取值范围。
    解:(1)∵点A、B在一次函数 的图象上,


    ∵四边形ABDC的面积为7

    ∴ 。
    (2)由F(0,4),C(1,0),D(4,0)得
     
    (3)∵PD=1×t=t
    ∴OP=4-t

     
     
    即 。
    抛物线
    1已知抛物线D:y2=4x的焦点与椭圆Q: 的右焦点F1重合,且点 在椭圆Q上。(Ⅰ)求椭圆Q的方程及其离心率;(Ⅱ)若倾斜角为45°的直线l过椭圆Q的左焦点F2,且与椭圆相交于A,B两点,求△ABF1的面积。
    解:(Ⅰ)由题意知,抛物线 的焦点为(1,0)
    ∴椭圆Q的右焦点F1的坐标为(1,0)。∴   ①
    又点 在椭圆Q上,  ∴ 即     ②
    由①②,解得   ∴椭圆Q的方程为    ∴离心离  
    (Ⅱ)由(Ⅰ)知F2(-1,0)∴直线l的方程为   设
     由方程组  消y整理,得 
    ∴ 
    又点F1到直线l的距离  ∴ 
    2如图所示,抛物线y2=4x的顶点为O,点A的坐标为(5,0),倾斜角为 的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点,求△AMN面积最大时直线l的方程,并求△AMN的最大面积   
    解法一   由题意,可设l的方程为y=x+m,其中-5<m<0   由方程组 ,消去y,得x2+(2m
    -4)x+m2=0    ①∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N,∴方程①的判别式Δ=(2m-4)2-
    4m2=16(1-m)>0,解得m<1,又-5<m<0,∴m的范围为(-5,0)
    设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=4-2m,x1•x2=m2,∴|MN|=4    点A到直线l的距离为d=  
    ∴S△=2(5+m) ,从而S△2=4(1-m)(5+m)2=2(2-2m)•(5+m)(5+m)≤2( )3=128 
    ∴S△≤8 ,当且仅当2-2m=5+m,即m=-1时取等号   故直线l的方程为y=x-1,△AMN的最大面
    积为8  
    解法二   由题意,可设l与x轴相交于B(m,0), l的方程为x = y +m,其中0<m<5 
    由方程组 ,消去x,得y 2-4 y -4m=0    ①∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N,
    ∴方程①的判别式Δ=(-4)2+16m=16(1+m)>0必成立,设M(x1,y1),N(x2,y2)则y 1+ y 2=4,y 1•y 2=-4m,
    ∴S△= =
    4  =4
     ∴S△≤8 ,当且仅当 即m=1时取等号  
    故直线l的方程为y=x-1,△AMN的最大面积为8 
    3已知O为坐标原点,P( )( )为 轴上一动点,过P作直线交抛物线 于A、B两点,设S△¬¬AOB= ,试问: 为何值时,t取得最小值,并求出最小值。
    解:交AB与 轴不重叠时,设AB的方程为
    合   消y可得:
    设A   B   则 ,  交AB与x轴重叠
    时,上述结论仍然成立
     ∴
     又 ∴
     ≥ 当 时   取“=”,  综上 当
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