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  • 高考数学圆锥曲线的综合问题复习教案

    教案作者:本站   教案来源:本站整理   教案栏目:高三数学教案    收藏本页

    9.8圆锥曲线的综合问题
    ★知识梳理★
    1.直线与圆锥曲线C的位置关系:
    将直线 的方程代入曲线C的方程,消去y或者消去x,得到一个关于x(或y)的方程ax2+bx+c=0.
    (1)交点个数:
    ①当 a=0或a≠0,⊿=0   时,曲线和直线只有一个交点;②当 a≠0,⊿>0时,曲线和直线有两个交点;③ 当⊿<0 时,曲线和直线没有交点。
    (2) 弦长公式:
    2.对称问题:
    曲线上存在两点关于已知直线对称的条件:①曲线上两点所在的直线与已知直线垂直(得出斜率)②曲线上两点所在的直线与曲线有两个公共点(⊿>0)③曲线上两点的中点在对称直线上。
    3.求动点轨迹方程:
    ①轨迹类型已确定的,一般用待定系数法;②动点满足的条件在题目中有明确的表述且轨迹类型未知的,一般用直接法;③一动点随另一动点的变化而变化,一般用代入转移法。
    ★重难点突破★
    重点:掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法及弦长公式;掌握弦中点轨迹的求法; 理解和掌握求曲线方程的方法与步骤,能利用方程求圆锥曲线的有关范围与最值
    难点:轨迹方程的求法及圆锥曲线的有关范围与最值问题
    重难点:综合运用方程、函数、不等式、轨迹等方面的知识解决相关问题
    1.体会“设而不求”在解题中的简化运算功能
    ①求弦长时用韦达定理设而不求;②弦中点问题用“点差法”设而不求.
    2.体会数学思想方法(以方程思想、转化思想、数形结合思想为主)在解题中运用
    问题1:已知点 为椭圆 的左焦点,点 ,动点 在椭圆上,则 的最小值为       .
    点拨:设 为椭圆的右焦点,利用定义将 转化为 ,结合图形,  ,当 共线时最小,最小值为
    ★热点考点题型探析★
    考点1直线与圆锥曲线的位置关系
    题型1:交点个数问题
    [例1 ] 设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是(  )
     A.[- , ] B.[-2,2] C.[-1,1] D.[-4,4]
    【解题思路】解决直线与圆锥曲线的交点个数问题的通法为判别式法
    [解析]  易知抛物线 的准线 与x轴的交点为Q (-2 , 0),
    于是,可设过点Q (-2 , 0)的直线 的方程为 ,
    联立
    其判别式为 ,可解得  ,应选C.
    【名师指引】(1)解决直线与圆锥曲线的交点问题的方法:一是判别式法;二是几何法
    (2)直线与圆锥曲线有唯一交点,不等价于直线与圆锥曲线相切,还有一种情况是平行于对称轴(抛物线)或平行于渐近线(双曲线)
    (3)联立方程组、消元后得到一元二次方程,不但要对 进行讨论,还要对二次项系数是否为0进行讨论
    【新题导练】
    1. (09摸底)已知将圆 上的每一点的纵坐标压缩到原来的 ,对应的横坐标不变,得到曲线C;设 ,平行于OM的直线 在y轴上的截距为m(m≠0),直线 与曲线C交于A、B两个不同点.
    (1)求曲线 的方程;(2)求m的取值范围.
    [解析](1)设圆上的动点为 压缩后对应的点为 ,则 ,
    代入圆的方程得曲线C的方程:
    (2)∵直线 平行于OM,且在y轴上的截距为m,又 ,
    ∴直线 的方程为 . 由 ,   得 
    ∵直线 与椭圆交于A、B两个不同点,∴ 
    解得 .∴m的取值范围是 .
    题型2:与弦中点有关的问题
    [例2](08韶关调研)已知点A、B的坐标分别是 , .直线 相交于点M,且它们的斜率之积为-2. (Ⅰ)求动点M的轨迹方程;
    (Ⅱ)若过点 的直线 交动点M的轨迹于C、D两点, 且N为线段CD的中点,求直线 的方程.
    【解题思路】弦中点问题用“点差法”或联立方程组,利用韦达定理求解
    [解析]  (Ⅰ)设 ,
    因为 ,所以 化简得:
    (Ⅱ) 设 
    当直线 ⊥x轴时, 的方程为 ,则 ,它的中点不是N,不合题意
    设直线 的方程为  将 代入 得
     …………(1)    …………(2) 
    (1)-(2)整理得:
    直线 的方程为 即所求直线 的方程为
    解法二: 当直线 ⊥x轴时,直线 的方程为 ,则 ,
    其中点不是N,不合题意.故设直线 的方程为 ,
    将其代入 化简得
    由韦达定理得 ,
    又由已知N为线段CD的中点,得  ,解得 ,
    将 代入(1)式中可知满足条件.
    此时直线 的方程为 ,即所求直线 的方程为
    【名师指引】通过将C、D的坐标代入曲线方程,再将两式相减的过程,称为代点相减.这里,代点相减后,适当变形,出现弦PQ的斜率和中点坐标,是实现设而不求(即点差法)的关键.两种解法都要用到“设而不求”,它对简化运算的作用明显,用“点差法”解决弦中点问题更简洁
    【新题导练】
    2.椭圆 的弦被点 所平分,求此弦所在直线的方程。
    [解析]设弦所在直线与椭圆交于 两点,则
     , ,两式相减得: ,
    化简得 ,
    把 代入得
    故所求的直线方程为 ,即
    3.已知直线y=-x+1与椭圆 相交于A、B两点,且线段AB的中点在直线L:x-2y=0上,求此椭圆的离心率
    [解析] 设 ,AB的中点为 ,
    代入椭圆方程得 , ,两式相减,得 .
      AB的中点为 在直线 上, ,
      ,而  
    题型3:与弦长有关的问题
     [例3](山东泰州市联考)已知直线 被抛物线 截得的弦长 为20, 为坐标原点.(1)求实数 的值;
    (2)问点 位于抛物线弧 上何处时,△ 面积最大?
     
     

    【解题思路】用“韦达定理”求弦长;考虑△ 面积的最大值取得的条件
     [解析](1)将 代入 得 ,
    由△ 可知 ,弦长AB ,解得 ;
    (2)当 时,直线为 ,要使得内接△ABC面积最大,
    则只须使得 ,即 ,即 位于(4,4)点处.
    【名师指引】用“韦达定理”不要忘记用判别式确定范围
    【新题导练】
    4. (山东省济南市高三统一考试)
    已知椭圆 与直线 相交于两点 .
    (1)当椭圆的半焦距 ,且 成等差数列时,求椭圆的方程;
    (2)在(1)的条件下,求弦 的长度 ;
    [解析](1)由已知得: ,∴
    所以椭圆方程为:
    (2) ,由 ,得 
    ∴  ∴
    (文)已知点 和 ,动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2,点C的轨迹与直线 交于D、E两点,求线段DE的长.
    (文)解:根据双曲线的定义,可知C的轨迹方程为 .设 , ,
    联立 得 .则 .
    所以 .
    故线段DE的长为 .
    考点2:对称问题
    题型:对称的几何性质及对称问题的求法(以点的对称为主线,轨迹法为基本方法)
    【新题导练】
    [例4 ] 若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M交椭圆 =1于A、B两点,若A、B关于点M对称,求直线l的方程.
    [解析]  ,设 ,则
    又 , ,两式相减得: ,
    化简得 ,
    把 代入得
    故所求的直线方程为 ,即
    所以直线l的方程为 :8x-9y+25=0.
    5.已知抛物线y2=2px上有一内接正△AOB,O为坐标原点.
    求证:点A、B关于x轴对称;
                                                                  
    [解析]设 , , ,
     ,即 ,
     , , ,故点A、B关于x轴对称
    6.在抛物线y2=4x上恒有两点关于直线y=kx+3对称,求k的取值范围.
    [解析] (1)当 时,曲线上不存在关于直线对称的两点.
    (2)当k≠0时,设抛物线y2=4x上关于直线对称的两点 ,AB的中点为 ,则直线 直线的斜率为直线  ,可设
    代入y2=4x得         
     
       ,
     在直线y=kx+3上,  ,
    代入 得即 ,又 恒成立,所以-1<k<0.
    综合(1)(2),k的取值范围是(-1,0)
    考点3 圆锥曲线中的范围、最值问题
    题型:求某些变量的范围或最值
     [例5]已知椭圆 与直线 相交于两点 .当椭圆的离心率 满足 ,且 ( 为坐标原点)时,求椭圆长轴长的取值范围.
    【解题思路】通过“韦达定理”沟通a与e的关系
     [解析]由 ,得
    由 ,得 此时 
    由 ,得 ,∴
    即 ,故 由 ,得
    ∴ 由 得 ,∴
    所以椭圆长轴长的取值范围为
    【名师指引】求范围和最值的方法:
    几何方法:充分利用图形的几何特征及意义,考虑几何性质解决问题
    代数方法:建立目标函数,再求目标函数的最值.
    【新题导练】
    7. 已知P是椭圆C: 的动点,点 关于原点O的对称点是B,若|PB|的最小值为 ,求点P的横坐标的取值范围。
    [解析]由 ,设
     ,
     , ,解得 或
    又 或
    8. 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线 上移动,记线段AB的中点为M,求点M到y轴的最短距离,并求此时点M的坐标.
    [解析] 设 , ,
    因AB与x轴不平行,故可设AB的方程为 ,
    将它代入 得  
    由 得 即
     
      , 
    将 代入得 
    当且仅当 即 时取等号,此时,
    所以,点M 为 或 时,到y轴的最短距离最小,最小值为 .
    9.直线m:y=kx+1和双曲线x2-y2=1的左支交于A,B两点,直线 过点P(-2,0)和线段AB的中点M,求 在y轴上的截距b的取值范围.
    [解析] 由 消去y得:
     解得
    设M(x0,y0)则
     三点共线
    令 上为减函数.
     
    10.已知椭圆 ,A(4,0),B(2,2)是椭圆内的两点,P是椭圆上任一点,求:(1)求 的最小值;
    (2)求|PA|+|PB|的最小值和最大值.
    [解析](1)最小值为
    (2)最大值为10+|BC|= ;最小值为10-|BC|= .
    考点4  定点,定值的问题
    题型:论证曲线过定点及图形(点)在变化过程中存在不变量
    [例6] 已知P、Q是椭圆C: 上的两个动点, 是椭圆上一定点, 是其左焦点,且|PF|、|MF|、|QF|成等差数列。
    求证:线段PQ的垂直平分线经过一个定点A;
    【解题思路】利用“|PF|、|MF|、|QF|成等差数列”找出两动点间的坐标关系
    证明:设 知
     
    同理
     
    ①当 ,
    从而有 设PQ的中点为 ,
    得线段PQ的中垂线方程为
     
    ②当
    线段PQ的中垂线是x轴,也过点
    【名师指引】定点与定值问题的处理一般有两种方法:
    (1)从特殊入手,求出定点和定值,再证明这个点(值)与变量无关;
    (2)直接推理、计算,并在计算过程中消去变量,从而得到定点(定值).
    【新题导练】
    11.已知抛物线C的方程为y=x2-2m2x-(2m2+1) (m∈R),则抛物线C恒过定点         
    [解析](-1,0)   [令x=-1得y=0]
    12.试证明双曲线 - =1(a>0,b>0)上任意一点到它的两条渐近线的距离之积为常数.
    [解析] 双曲线上任意一点为 ,
    它到两渐近线的距离之积   
    考点6  曲线与方程
    题型:用几种基本方法求轨迹方程
    [例7]已知抛物线C: y2=4x,若椭圆左焦点及相应的准线与抛物线C的焦点F及准线l分别重合,试求椭圆短轴端点B与焦点F连线中点P的轨迹方程;
    【解题思路】探求动点满足的几何关系,在转化为方程
    [解析]由抛物线y2=4x,得焦点F(1,0),准线   x=-1
    (1)设P(x,y),则B(2x-1,2y), 椭圆中心O′,则|FO′|∶|BF|=e,
    又设点B到l的距离为d,则|BF|∶d=e,∴|FO′|∶|BF|=|BF|∶d,
    即(2x-2)2+(2y)2=2x(2x-2),化简得P点轨迹方程为y2=x-1(x>1)
    [名师指引] 求曲线方程的方法主要有:直接法、定义法、代入法、参数法,本题用到直接法,但题目条件需要转化
    【新题导练】
    13.点P为双曲线 上一动点,O为坐标原点,M为线段OP中点,则点M的轨迹方程是          .
    [解析]     [相关点法]
    14.过双曲线C: 的右焦点F作直线l与双曲线C交于P、Q两点, ,求点M的轨迹方程.
    [解析]右焦点(2,0),设
     得 , ,直线l的斜率
    又 , ,两式相减得 ,
    把 , , 代入上式得
    15.已知动点 与双曲线 的两个焦点 、 的距离之和为定值,且  的最小值为 .求动点 的轨迹方程;
    [解析](1)由条件知,动点 的轨迹为椭圆,其中半焦距为 ,
    点P在y轴上时 最大,由余弦定理得 ,动点 的轨迹方程 .
    16. (广东实验中学)已知圆C: .
    (1)直线 过点P(1,2),且与圆C交于A、B两点,若 ,求直线 的方程;
    (2)过圆C上一动点M作平行于y轴的直线m,设m与x轴的交点为N,若向量 ,求动点 的轨迹方程.
    (3) 若点R(1,0),在(2)的条件下,求 的最小值.
    解析(1)①当直线 垂直于 轴时,则此时直线方程为 , 与圆的两个交点坐标为 和 ,其距离为 ,满足题意     ……1分
    ②若直线 不垂直于 轴,设其方程为 ,即 …2分
    设圆心到此直线的距离为 ,则 ,得
    ∴ , ,………4分  故所求直线方程为3x-4y+5=0
    综上所述,所求直线为3x-4y+5=0或x=1     ……………5分
    (2)设点M的坐标为(x0,y0),Q点坐标为(x,y)则N点坐标是(x0, 0)
       ∵ ,∴   即 ,      ………7分
    又∵ ,∴         …………9分
    直线m //y轴,所以, ,∴ 点的轨迹方程是  ( )……10分
    (3)设Q坐标为(x,y), ,   ,……11分
    又 ( )可得: 
    .………13分
       …………14分
    ★课后训练★
    基础巩固训练
    1. 已知 是三角形的一个内角,且 ,则方程 表示
    (A)焦点在x轴上的椭圆                (B)焦点在y轴上的椭圆   
    (C)焦点在x 轴上的双曲线              (D)焦点在y 轴上的双曲线
    1.[解析] B.  由 知 ,
    2. 已知点M(3,4)在一椭圆上,则以点M为顶点的椭圆的内接矩形的面积是(   )
    (A)12             (B)24            (C)48          (D)与椭圆有关
    2. [解析] C [由椭圆的对称性可知];
    3. 已知点F( ,直线 ,点B是l上的动点.若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M,则点M的轨迹是      (    )
     A.双曲线     B.椭圆         C.圆           D.抛物线
    3.[解析]D.   [MB=MF]
    4. 过双曲线 的右焦点作直线交双曲线于A、B两点,且 ,则这样的直线有___________条.
    4.[解析] 3; 垂直于实轴的弦长为4,实轴长为2.
    5.  是椭圆 的左、右焦点,点 在椭圆上运动,则 的最大值是           .
    5.[解析] ≤ ;
    6. 若双曲线 与圆 有公共点,则实数 的取值范围为            .
    6. [解析]  [ ]
    综合提高训练
    7. 已知抛物线 的弦AB经过点P(4,2)且OA⊥OB(O为坐标原点),弦AB所在直线的方程为            
    7.[解析] 12x —23y—2=0    记住结论:
    8.已知椭圆  ,直线l到原点的距离为 求证:直线l与椭圆必有两上交点.
    8.[解析] 证明:当直线l垂直x轴时,由题意知:
    不妨取 代入曲线E的方程得: 
    即G( , ),H( ,- )有两个不同的交点,
    当直线l不垂直x轴时,设直线l的方程为:
    由题意知:

     
    ∴直线l与椭圆E交于两点, 综上,直线l必与椭圆E交于两点
    9. 求过椭圆 内一点A(1,1)的弦PQ的中点M的轨迹方程.
    9.[解析]解:设动弦PQ的方程为 ,设P( ),Q( ),M( ),则:  ①     ②
    ①-②得:
    当 时,
    由题意知 ,即   ③
    ③式与 联立消去k,得   ④
    当 时,k不存在,此时, ,也满足④.
    故弦PQ的中点M的轨迹方程为:
    10 .已知抛物线 .过动点M( ,0)且斜率为1的直线 与该抛物线交于不同的两点A、B.若 ,求a的取值范围.
    10 .[解析]直线 的方程为 ,将 ,
    得: .
    设直线 与抛物线的两个不同交点的坐标为 、 ,
    则    又 ,
    ∴   .
    ∵ ,∴ .
    解得 .
    11. 过抛物线 的焦点作一条斜率为k(k≠0)的弦,此弦满足:①弦长不超过8;②弦所在的直线与椭圆3x2 + 2y2 = 2相交,求k的取值范围.
    11. 解析:抛物线 的焦点为(1,0),设弦所在直线方程为
      由  得   2分
      ∴ 故
    由 ,解得k≥1
    由  得   8分
      由 ,解得k2 < 3    因此1≤k2 < 3
        ∴k的取值范围是[ ,-1]∪[1, ]
    12. 在直角坐标平面内,已知两点A(-2,0)及B(2,0),动点Q到点A的距离为6,线段BQ的垂直平分线交AQ于点P。
    (Ⅰ)证明|PA|+|PB|为常数,并写出点P的轨迹T的方程;
     
    12. 解:)连结PB∵线段BQ的垂直平分线与AQ交于点P,∴|PB|=|PQ|,又|AQ|=6,
    ∴|PA|+|PB|=|PA|+|PQ|=|AQ|=6(常数)。
    又|PA|+|PB|>|AB|,从而P点的轨迹T是中心在原点,以A、B为两个焦点,长轴在x轴上的椭圆,其中,2a=6,2c=4,∴椭圆方程为 

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