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  • 高考数学圆锥曲线经典例题及总结教案

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          圆锥曲线
    1.圆锥曲线的两定义:
    第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点F ,F 的距离的和等于常数 ,且此常数 一定要大于 ,当常数等于 时,轨迹是线段F F ,当常数小于 时,无轨迹;双曲线中,与两定点F ,F 的距离的差的绝对值等于常数 ,且此常数 一定要小于|F F |,定义中的“绝对值”与 <|F F |不可忽视。若 =|F F |,则轨迹是以F ,F 为端点的两条射线,若 ﹥|F F |,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
    2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程):
    (1)椭圆:焦点在 轴上时 ( ),焦点在 轴上时 =1( )。方程 表示椭圆的充要条件是什么?(ABC≠0,且A,B,C同号,A≠B)。
    (2)双曲线:焦点在 轴上:  =1,焦点在 轴上: =1( )。方程 表示双曲线的充要条件是什么?(ABC≠0,且A,B异号)。
    (3)抛物线:开口向右时 ,开口向左时 ,开口向上时 ,开口向下时 。
    3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断):
    (1)椭圆:由  ,  分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。
    (2)双曲线:由  ,  项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上;
    (3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。
    提醒:在椭圆中, 最大, ,在双曲线中, 最大, 。
    4.圆锥曲线的几何性质:
    (1)椭圆(以 ( )为例):①范围: ;②焦点:两个焦点 ;③对称性:两条对称轴 ,一个对称中心(0,0),四个顶点 ,其中长轴长为2 ,短轴长为2 ;④准线:两条准线 ; ⑤离心率: ,椭圆  , 越小,椭圆越圆; 越大,椭圆越扁。
    (2)双曲线(以 ( )为例):①范围: 或 ;②焦点:两个焦点 ;③对称性:两条对称轴 ,一个对称中心(0,0),两个顶点 ,其中实轴长为2 ,虚轴长为2 ,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线,其方程可设为 ;④准线:两条准线 ; ⑤离心率: ,双曲线  ,等轴双曲线  , 越小,开口越小, 越大,开口越大;⑥两条渐近线: 。
    (3)抛物线(以 为例):①范围: ;②焦点:一个焦点 ,其中 的几何意义是:焦点到准线的距离;③对称性:一条对称轴 ,没有对称中心,只有一个顶点(0,0);④准线:一条准线 ; ⑤离心率: ,抛物线  。
    5、点 和椭圆 ( )的关系:(1)点 在椭圆外  ;(2)点 在椭圆上  =1;(3)点 在椭圆内
    6.直线与圆锥曲线的位置关系:
    (1)相交:  直线与椭圆相交;  直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定有 ,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故 是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件; 直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定有 ,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故 也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件。
    (2)相切:  直线与椭圆相切;  直线与双曲线相切;  直线与抛物线相切;
    (3)相离:  直线与椭圆相离;  直线与双曲线相离;  直线与抛物线相离。
    提醒:(1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点;(2)过双曲线 =1外一点 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下:①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条;②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条;③P在两条渐近线上但非原点,只有两条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线;④P为原点时不存在这样的直线;(3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线。
    7、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题:  ,当 即 为短轴端点时, 的最大值为bc;对于双曲线 。 如  (1)短轴长为 ,
    8、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质:(1)以过焦点的弦为直径的圆和准线相切;(2)设AB为焦点弦, M为准线与x轴的交点,则∠AMF=∠BMF;(3)设AB为焦点弦,A、B在准线上的射影分别为A ,B ,若P为A B 的中点,则PA⊥PB;(4)若AO的延长线交准线于C,则BC平行于x轴,反之,若过B点平行于x轴的直线交准线于C点,则A,O,C三点共线。                              
    9、弦长公式:若直线 与圆锥曲线相交于两点A、B,且 分别为A、B的横坐标,则 = ,若 分别为A、B的纵坐标,则 = ,若弦AB所在直线方程设为 ,则 = 。特别地,焦点弦(过焦点的弦):焦点弦的弦长的计算,一般不用弦长公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解。
    抛物线:
     
    在双曲线 中,以 为中点的弦所在直线的斜率k= ;在抛物线 中,以 为中点的弦所在直线的斜率k= 。
    提醒:因为 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘了检验 !
    11.了解下列结论
    (1)双曲线 的渐近线方程为 ;
    (2)以 为渐近线(即与双曲线 共渐近线)的双曲线方程为 为参数, ≠0)。
    (3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为 ;
    (4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为 ,焦准距(焦点到相应准线的距离)为 ,抛物线的通径为 ,焦准距为 ;
    (5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦;
    (6)若抛物线 的焦点弦为AB, ,则① ;②
    (7)若OA、OB是过抛物线 顶点O的两条互相垂直的弦,则直线AB恒经过定点
    12、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容:
    (1) 给出直线的方向向量 或 ;
    (2)给出 与 相交,等于已知 过 的中点;
    (3)给出 ,等于已知 是 的中点;
    (4)给出 ,等于已知 与 的中点三点共线;
    (5) 给出以下情形之一:① ;②存在实数 ;③若存在实数 ,等于已知 三点共线.
    (6) 给出 ,等于已知 ,即 是直角,给出 ,等于已知 是钝角, 给出 ,等于已知 是锐角,
    (8)给出 ,等于已知 是 的平分线/
    (9)在平行四边形 中,给出 ,等于已知 是菱形;
    (10) 在平行四边形 中,给出 ,等于已知 是矩形;
    (11)在 中,给出 ,等于已知 是 的外心(三角形外接圆的圆心,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点);
    (12) 在 中,给出 ,等于已知 是 的重心(三角形的重心是三角形三条中线的交点);
    (13)在 中,给出 ,等于已知 是 的垂心(三角形的垂心是三角形三条高的交点);
    (14)在 中,给出   等于已知 通过 的内心;
    (15)在 中,给出 等于已知 是 的内心(三角形内切圆的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点);
        (16) 在 中,给出 ,等于已知 是 中 边的中线;
    (3)已知A,B为抛物线x2=2py(p>0)上异于原点的两点, ,点C坐标为(0,2p)
    (1)求证:A,B,C三点共线;
    (2)若 = ( )且 试求点M的轨迹方程。
    (1)证明:设 ,由 得
     ,又
     , ,即A,B,C三点共线。
    (2)由(1)知直线AB过定点C,又由 及 = ( )知OMAB,垂足为M,所以点M的轨迹为以OC为直径的圆,除去坐标原点。即点M的轨迹方程为x2+(y-p)2=p2(x0,y0)。
    13.圆锥曲线中线段的最值问题:
    例1、(1)抛物线C:y2¬=4x上一点P到点A(3,4 )与到准线的距离和最小,则点 P的坐标为______________
     (2)抛物线C: y2¬=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为             。
    分析:(1)A在抛物线外,如图,连PF,则 ,因而易发现,当A、P、F三点共线时,距离和最小。
    (2)B在抛物线内,如图,作QR⊥l交于R,则当B、Q、R三点共线时,距离和最小。 解:(1)(2, )(2)( )
    1、已知椭圆C1的方程为 ,双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点。
        (1) 求双曲线C2的方程;
        (2) 若直线l: 与椭圆C1及双曲线C2恒有两个不同的交点,且l与C2的两个交点A和B满足 (其中O为原点),求k的取值范围。
    解:(Ⅰ)设双曲线C2的方程为 ,则
    故C2的方程为 (II)将
    由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得
     即              ①
     .由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A,B得
     
     解此不等式得         ③
    由①、②、③得
    故k的取值范围为
    在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,-1),B点在直线y = -3上,M点满足MB//OA, MA•AB = MB•BA,M点的轨迹为曲线C。
    (Ⅰ)求C的方程;(Ⅱ)P为C上的动点,l为C在P点处得切线,求O点到l距离的最小值。
    (Ⅰ)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).所以 =(-x,-1-y),  =(0,-3-y),  =(x,-2).再由愿意得知( + )•  =0,即(-x,-4-2y)• (x,-2)=0.
    所以曲线C的方程式为y= x -2. (Ⅱ)设P(x ,y )为曲线C:y= x -2上一点,因为y = x,所以 的斜率为 x 因此直线 的方程为 ,即 。
    则O点到 的距离 .又 ,所以
    当 =0时取等号,所以O点到 距离的最小值为2.
    设双曲线 (a>0,b>0)的渐近线与抛物线y=x2 +1相切,则该双曲线的离心率等于(   )
    设双曲线 的一条渐近线,则双曲线的离心率为(     ).     
    过椭圆 ( )的左焦点 作 轴的垂线交椭圆于点 , 为右焦点,若 ,则椭圆的离心率为
    已知双曲线 的左、右焦点分别是 、 ,其一条渐近线方程为 ,点 在双曲线上.则 • =(   )0
    已知直线 与抛物线 相交于 两点, 为 的焦点,若 ,则 (   )
    已知直线 和直线 ,抛物线 上一动点 到直线 和直线 的距离之和的最小值是(   )
    设已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点为F(1,0),直线l与抛物线C相交于A,B两点。若AB的中点为(2,2),则直线l的方程为_____________.
    椭圆 的焦点为 ,点P在椭圆上,若 ,则         ; 的大小为        .
    过抛物线 的焦点F作倾斜角为 的直线交抛物线于A、B两点,若线段AB的长为8,则 ________________ 
    【解析】设切点 ,则切线的斜率为 .由题意有 又 解得: 
    双曲线 的一条渐近线为 ,由方程组 ,消去y,得 有唯一解,所以△= ,所以 ,
    由渐近线方程为 知双曲线是等轴双曲线,∴双曲线方程是 ,于是两焦点坐标分别是(-2,0)和(2,0),且 或 .不妨去 ,则 , .
    ∴ • =
    【解析】设抛物线 的准线为 直线
     恒过定点P  .如图过 分 别作 于 , 于 , 由 ,则 ,点B为AP的中点.连结 ,则 ,
       点 的横坐标为 , 故点 的坐标为
     , 故选D
    1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.
    2. PT平分△PF1F2在点P处的外角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.
    3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
    4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
    5. 若 在椭圆 上,则过 的椭圆的切线方程是 .
    6. 若 在椭圆 外 ,则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是 .
    7. 椭圆  (a>b>0)的左右焦点分别为F1,F 2,点P为椭圆上任意一点 ,则椭圆的焦点角形的面积为 .
    8. 椭圆 (a>b>0)的焦半径公式:
     , (  ,   ).
    9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点,则MF⊥NF.
    10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点,A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,则MF⊥NF.
    11. AB是椭圆 的不平行于对称轴的弦,M 为AB的中点,则 ,
    即 。
    12. 若 在椭圆 内,则被Po所平分的中点弦的方程是 .
    13. 若 在椭圆 内,则过Po的弦中点的轨迹方程是 .
    二、双曲线
    1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.
    2. PT平分△PF1F2在点P处的内角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.
    3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.
    4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P在右支;外切:P在左支)
    5. 若 在双曲线 (a>0,b>0)上,则过 的双曲线的切线方程是 .
    6. 若 在双曲线 (a>0,b>0)外 ,则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是 .
    7. 双曲线 (a>0,b>o)的左右焦点分别为F1,F 2,点P为双曲线上任意一点 ,则双曲线的焦点角形的面积为 .
    8. 双曲线 (a>0,b>o)的焦半径公式:(  , 
    当 在右支上时, , .
    当 在左支上时, ,
    9. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点,A为双曲线长轴上一个顶点,连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点,则MF⊥NF.
    10. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点,A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,则MF⊥NF.
    11. AB是双曲线 (a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦,M 为AB的中点,则 ,即 。
    12. 若 在双曲线 (a>0,b>0)内,则被Po所平分的中点弦的方程是 .
    13. 若 在双曲线 (a>0,b>0)内,则过Po的弦中点的轨迹方程是 .
    椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论)
    椭   圆
    1. 椭圆 (a>b>o)的两个顶点为 , ,与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是 .
    2. 过椭圆  (a>0, b>0)上任一点 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点,则直线BC有定向且 (常数).
    3. 若P为椭圆 (a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点,  ,  ,则 .
    4. 设椭圆 (a>b>0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点,在△PF1F2中,记 ,  , ,则有 .
    5. 若椭圆 (a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当0<e≤ 时,可在椭圆上求一点P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
    6. P为椭圆 (a>b>0)上任一点,F1,F2为二焦点,A为椭圆内一定点,则 ,当且仅当 三点共线时,等号成立.
    7. 椭圆 与直线 有公共点的充要条件是 .
    8. 已知椭圆 (a>b>0),O为坐标原点,P、Q为椭圆上两动点,且 .(1) ;(2)|OP|2+|OQ|2的最大值为 ;(3) 的最小值是 .
    9. 过椭圆 (a>b>0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,则 .
    10. 已知椭圆 ( a>b>0) ,A、B、是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点 , 则 .
    11. 设P点是椭圆 ( a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记 ,则(1) .(2)  .
    12. 设A、B是椭圆 ( a>b>0)的长轴两端点,P是椭圆上的一点, ,  , ,c、e分别是椭圆的半焦距离心率,则有(1) .(2)  .(3)  .
    13. 已知椭圆 ( a>b>0)的右准线 与x轴相交于点 ,过椭圆右焦点 的直线与椭圆相交于A、B两点,点 在右准线 上,且 轴,则直线AC经过线段EF 的中点.
    14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
    15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
    16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). 
    (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)
    17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.
    18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
    双曲线
    1. 双曲线 (a>0,b>0)的两个顶点为 , ,与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是 .
    2. 过双曲线 (a>0,b>o)上任一点 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点,则直线BC有定向且 (常数).
    3. 若P为双曲线 (a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点,  ,  ,则 (或 ).
    4. 设双曲线 (a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点,在△PF1F2中,记 ,  , ,则有 .
    5. 若双曲线 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当1<e≤ 时,可在双曲线上求一点P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
    6. P为双曲线 (a>0,b>0)上任一点,F1,F2为二焦点,A为双曲线内一定点,则 ,当且仅当 三点共线且 和 在y轴同侧时,等号成立.
    7. 双曲线 (a>0,b>0)与直线 有公共点的充要条件是 .
    8. 已知双曲线 (b>a >0),O为坐标原点,P、Q为双曲线上两动点,且 .
    (1) ;(2)|OP|2+|OQ|2的最小值为 ;(3) 的最小值是 .
    9. 过双曲线 (a>0,b>0)的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,则 .
    10. 已知双曲线 (a>0,b>0),A、B是双曲线上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点 , 则 或 .
    11. 设P点是双曲线 (a>0,b>0)上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记 ,则(1) .(2)  .
    12. 设A、B是双曲线 (a>0,b>0)的长轴两端点,P是双曲线上的一点, ,  , ,c、e分别是双曲线的半焦距离心率,则有(1) .
    (2)  .(3)  .
    13. 已知双曲线 (a>0,b>0)的右准线 与x轴相交于点 ,过双曲线右焦点 的直线与双曲线相交于A、B两点,点 在右准线 上,且 轴,则直线AC经过线段EF 的中点.
    14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
    15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
    16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).
    (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).
    17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.
    18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.
    其他常用公式:
    1、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦,利用方程的根与系数关系来计算弦长,常用的弦长公式:
    2、直线的一般式方程:任何直线均可写成 (A,B不同时为0)的形式。
    3、知直线横截距 ,常设其方程为 (它不适用于斜率为0的直线)
    与直线 垂直的直线可表示为 。
    4、两平行线 间的距离为 。
    5、若直线 与直线 平行
    则  (斜率)且 (在 轴上截距)  (充要条件)
    6、圆的一般方程: ,特别提醒:只有当 时,方程 才表示圆心为 ,半径为 的圆。二元二次方程 表示圆的充要条件是 且 且 。
     7、圆的参数方程: ( 为参数),其中圆心为 ,半径为 。圆的参数方程的主要应用是三角换元: ; 
    8、 为直径端点的圆方程
    切线长:过圆 ( )外一点 所引圆的切线的长为 ( )
    9、弦长问题:①圆的弦长的计算:常用弦心距 ,弦长一半 及圆的半径 所构成的直角三角形来解: ;②过两圆 、 交点的圆(公共弦)系为 ,当 时,方程 为两圆公共弦所在直线方程.。

    攻克圆锥曲线解答题的策略
    摘要:为帮助高三学生学好圆锥曲线解答题,提高成绩,战胜高考,可从四个方面着手:知识储备、方法储备、思维训练、强化训练。
    关键词:知识储备  方法储备  思维训练  强化训练
    第一、知识储备:
    1. 直线方程的形式
    (1)直线方程的形式有五件:点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。
    (2)与直线相关的重要内容
    ①倾斜角与斜率
    ②点到直线的距离    ③夹角公式: 
    (3)弦长公式
    直线 上两点 间的距离:
      或
    (4)两条直线的位置关系
    ① =-1   ② 
    2、圆锥曲线方程及性质
    (1)、椭圆的方程的形式有几种?(三种形式)
        标准方程:
        距离式方程:
        参数方程:
    (2)、双曲线的方程的形式有两种
        标准方程:
        距离式方程:
    (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗?
        
    (4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗?
    如:已知 是椭圆 的两个焦点,平面内一个动点M满足 则动点M的轨迹是(     )
    A、双曲线;B、双曲线的一支;C、两条射线;D、一条射线
    (5)、焦点三角形面积公式:
                            
    (其中 )
    (6)、记住焦半径公式:(1) ,可简记为“左加右减,上加下减”。
       (2)
       (3)
    (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗?
    第二、方法储备
    1、点差法(中点弦问题)
    设 、 , 为椭圆 的弦 中点则有
     , ;两式相减得
        =
    2、联立消元法:你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗?经典套路是什么?如果有两个参数怎么办?
        设直线的方程,并且与曲线的方程联立,消去一个未知数,得到一个二次方程,使用判别式 ,以及根与系数的关系,代入弦长公式,设曲线上的两点 ,将这两点代入曲线方程得到○1○2两个式子,然后○1-○2,整体消元••••••,若有两个字母未知数,则要找到它们的联系,消去一个,比如直线过焦点,则可以利用三点A、B、F共线解决之。若有向量的关系,则寻找坐标之间的关系,根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为 ,就意味着k存在。
    例1、已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆 上,且点A是椭圆短轴的一个端点(点A在y轴正半轴上).
    (1)若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点,试求直线BC的方程;
    (2)若角A为 ,AD垂直BC于D,试求点D的轨迹方程.
    分析:第一问抓住“重心”,利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC的斜率,从而写出直线BC的方程。第二问抓住角A为 可得出AB⊥AC,从而得 ,然后利用联立消元法及交轨法求出点D的轨迹方程;
    解:(1)设B( , ),C( ,  ),BC中点为( ),F(2,0)则有
    两式作差有      (1)
    F(2,0)为三角形重心,所以由 ,得 ,由 得 ,代入(1)得
    直线BC的方程为
    2)由AB⊥AC得   (2)
    设直线BC方程为 ,得
     ,
      代入(2)式得
     ,解得 或
    直线过定点(0, ,设D(x,y),则 ,即
    所以所求点D的轨迹方程是 。
    4、设而不求法
    例2、如图,已知梯形ABCD中 ,点E分有向线段 所成的比为 ,双曲线过C、D、E三点,且以A、B为焦点当 时,求双曲线离心率 的取值范围。
    分析:本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质,推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。建立直角坐标系 ,如图,若设C ,代入 ,求得 ,进而求得 再代入 ,建立目标函数 ,整理 ,此运算量可见是难上加难.我们对 可采取设而不求的解题策略,
    建立目标函数 ,整理 ,化繁为简.
         解法一:如图,以AB为垂直平分线为 轴,直线AB为 轴,建立直角坐标系 ,则CD⊥ 轴因为双曲线经过点C、D,且以A、B为焦点,由双曲线的对称性知C、D关于 轴对称                                                    
    依题意,记A ,C ,E ,其中 为双曲线的半焦距, 是梯形的高,由定比分点坐标公式得
             , 
    设双曲线的方程为 ,则离心率
    由点C、E在双曲线上,将点C、E的坐标和 代入双曲线方程得
                     ,             ①
                         ②           
    由①式得          ,            ③
    将③式代入②式,整理得   
                      ,
    故                                    
    由题设 得,
    解得              
    所以双曲线的离心率的取值范围为          
    分析:考虑 为焦半径,可用焦半径公式,  用 的横坐标表示,回避 的计算, 达到设而不求的解题策略.
      解法二:建系同解法一, ,
     ,又 ,代入整理 ,由题设 得,
    解得              
    所以双曲线的离心率的取值范围为          
    5、判别式法
    例3已知双曲线 ,直线 过点 ,斜率为 ,当 时,双曲线的上支上有且仅有一点B到直线 的距离为 ,试求 的值及此时点B的坐标。
    分析1:解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科,因此,数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有”这个微观入手,对照草图,不难想到:过点B作与 平行的直线,必与双曲线C相切. 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式 . 由此出发,可设计如下解题思路:
     
     
    解题过程略.
    分析2:如果从代数推理的角度去思考,就应当把距离用代数式表达,即所谓“有且仅有一点B到直线 的距离为 ”,相当于化归的方程有唯一解. 据此设计出如下解题思路:

    简解:设点 为双曲线C上支上任一点,则点M到直线 的距离为:
                                
    于是,问题即可转化为如上关于 的方程.
    由于 ,所以 ,从而有
     
    于是关于 的方程 
          
     由 可知:
     方程 的二根同正,故 恒成立,于是 等价于
     .
     由如上关于 的方程有唯一解,得其判别式 ,就可解得   .
    点评:上述解法紧扣解题目标,不断进行问题转换,充分体现了全局观念与整体思维的优越性.
    例4已知椭圆C: 和点P(4,1),过P作直线交椭圆于A、B两点,在线段AB上取点Q,使 ,求动点Q的轨迹所在曲线的方程.
    分析:这是一个轨迹问题,解题困难在于多动点的困扰,学生往往不知从何入手。其实,应该想到轨迹问题可以通过参数法求解. 因此,首先是选定参数,然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达,最后通过消参可达到解题的目的.
    由于点 的变化是由直线AB的变化引起的,自然可选择直线AB的斜率 作为参数,如何将 与 联系起来?一方面利用点Q在直线AB上;另一方面就是运用题目条件: 来转化.由A、B、P、Q四点共线,不难得到 ,要建立 与 的关系,只需将直线AB的方程代入椭圆C的方程,利用韦达定理即可.
    通过这样的分析,可以看出,虽然我们还没有开始解题,但对于如何解决本题,已经做到心中有数.
    在得到 之后,如果能够从整体上把握,认识到:所谓消参,目的不过是得到关于 的方程(不含k),则可由 解得 ,直接代入 即可得到轨迹方程。从而简化消去参的过程。
    简解:设 ,则由 可得: ,
    解之得:               (1)
    设直线AB的方程为: ,代入椭圆C的方程,消去 得出关于 x的一元二次方程:
           (2)
    ∴   
    代入(1),化简得:                                 (3)
    与 联立,消去 得:
    在(2)中,由 ,解得  ,结合(3)可求得 
    故知点Q的轨迹方程为:   ( ).
    点评:由方程组实施消元,产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程,其判别式、韦达定理模块思维易于想到. 这当中,难点在引出参,活点在应用参,重点在消去参.,而“引参、用参、消参”三步曲,正是解析几何综合问题求解的一条有效通道.
    6、求根公式法
    例5设直线 过点P(0,3),和椭圆 顺次交于A、B两点,试求 的取值范围.
    分析:本题中,绝大多数同学不难得到: = ,但从此后却一筹莫展, 问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事实上,所谓求取值范围,不外乎两条路:其一是构造所求变量关于某个(或某几个)参数的函数关系式(或方程),这只需利用对应的思想实施;其二则是构造关于所求量的一个不等关系.
    分析1: 从第一条想法入手, = 已经是一个关系式,但由于有两个变量 ,同时这两个变量的范围不好控制,所以自然想到利用第3个变量——直线AB的斜率k. 问题就转化为如何将 转化为关于k的表达式,到此为止,将直线方程代入椭圆方程,消去y得出关于 的一元二次方程,其求根公式呼之欲出.
    简解1:当直线 垂直于x轴时,可求得 ;
    当 与x轴不垂直时,设 ,直线 的方程为: ,代入椭圆方程,消去 得
    解之得  
    因为椭圆关于y轴对称,点P在y轴上,所以只需考虑 的情形.
    当 时, , ,
    所以  = = = .
    由   , 解得  ,
    所以    ,
    综上   .
      分析2: 如果想构造关于所求量的不等式,则应该考虑到:判别式往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定 的取值范围,于是问题转化为如何将所求量与 联系起来. 一般来说,韦达定理总是充当这种问题的桥梁,但本题无法直接应用韦达定理,原因在于 不是关于 的对称关系式. 原因找到后,解决问题的方法自然也就有了,即我们可以构造关于 的对称关系式.
    简解2:设直线 的方程为: ,代入椭圆方程,消去 得
              (*)

    令 ,则,
    在(*)中,由判别式 可得  ,
    从而有     ,所以      ,解得       .
    结合 得 .
    综上, .
    点评:范围问题不等关系的建立途径多多,诸如判别式法,均值不等式法,变量的有界性法,函数的性质法,数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手,给出又一优美解法.
    解题犹如打仗,不能只是忙于冲锋陷阵,一时局部的胜利并不能说明问题,有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在,只有见微知著,树立全局观念,讲究排兵布阵,运筹帷幄,方能决胜千里.
    第三、推理训练:数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式,它是数学求解的核心。以已知的真实数学命题,即定义、公理、定理、性质等为依据,选择恰当的解题方法,达到解题目标,得出结论的一系列推理过程。在推理过程中,必须注意所使用的命题之间的相互关系(充分性、必要性、充要性等),做到思考缜密、推理严密。通过编写思维流程图来锤炼自己的大脑,快速提高解题能力。
    例6椭圆长轴端点为 , 为椭圆中心, 为椭圆的右焦点,且 , .
    (Ⅰ)求椭圆的标准方程;
    (Ⅱ)记椭圆的上顶点为 ,直线 交椭圆于 两点,问:是否存在直线 ,使点 恰为 的垂心?若存在,求出直线 的方程;若不存在,请说明理由。
    思维流程:            
    解题过程:
    (Ⅰ)如图建系,设椭圆方程为 ,则
    又∵ 即  ,∴   
    故椭圆方程为 
       (Ⅱ)假设存在直线 交椭圆于 两点,且 恰为 的垂心,则
    设 ,∵ ,故 ,
    于是设直线 为  ,由 得,    
    ∵  又
    得   即
       由韦达定理得
     
    解得 或 (舍)  经检验 符合条件.
    点石成金:垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边,然后转化为两向量乘积为零.
    例7、已知椭圆 的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过 、 、 三点.
    (Ⅰ)求椭圆 的方程:
    (Ⅱ)若点D为椭圆 上不同于 、 的任意一点, ,当Δ 内切圆的面积最大时,求Δ 内心的坐标;
    思维流程:
    (Ⅰ)            
    解题过程: (Ⅰ)设椭圆方程为  ,将 、 、 代入椭圆E的方程,得
     解得 .∴椭圆 的方程  .         
    (Ⅱ) ,设Δ 边上的高为
     当点 在椭圆的上顶点时, 最大为 ,所以 的最大值为 .
     设Δ 的内切圆的半径为 ,因为Δ 的周长为定值6.所以,
     所以 的最大值为 .所以内切圆圆心的坐标为 .
    点石成金: 
    例8、已知定点 及椭圆 ,过点 的动直线与椭圆相交于 两点.
    (Ⅰ)若线段 中点的横坐标是 ,求直线 的方程;
    (Ⅱ)在 轴上是否存在点 ,使 为常数?若存在,求出点 的坐标;若不存在,请说明理由.
    思维流程:
    (Ⅰ)解:依题意,直线 的斜率存在,设直线 的方程为 ,
    将 代入 , 消去 整理得    
    设  
    则    
    由线段 中点的横坐标是 ,   得 ,解得 ,符合题意。
    所以直线 的方程为  ,或  .                  
    (Ⅱ)解:假设在 轴上存在点 ,使 为常数.
    ① 当直线 与 轴不垂直时,由(Ⅰ)知    
    所以
                  将 代入,整理得  
    注意到 是与 无关的常数, 从而有 , 此时  
    ② 当直线 与 轴垂直时,此时点 的坐标分别为 ,当 时, 亦有                                       
     综上,在 轴上存在定点 ,使 为常数.
    点石成金:
                               
    例9、已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1),平行于OM的直线 在y轴上的截距为m(m≠0), 交椭圆于A、B两个不同点。
       (Ⅰ)求椭圆的方程;
       (Ⅱ)求m的取值范围;
       (Ⅲ)求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.
    思维流程:
    解:(1)设椭圆方程为
    则               ∴椭圆方程为
    (Ⅱ)∵直线l平行于OM,且在y轴上的截距为m
    又KOM=                  

    ∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点,     
    (Ⅲ)设直线MA、MB的斜率分别为k1,k2,只需证明k1+k2=0即可
    设 
    则 
     
    故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.
    点石成金:直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形 
    例10、已知双曲线 的离心率 ,过 的直线到原点的距离是
     (1)求双曲线的方程;
     (2)已知直线 交双曲线于不同的点C,D且C,D都在以B为圆心的圆上,求k的值.
      思维流程:
    解:∵(1) 原点到直线AB: 的距离 .
         故所求双曲线方程为 
    (2)把 中消去y,整理得  .
         设 的中点是 ,则
         
       

    故所求k=± .
    点石成金: C,D都在以B为圆心的圆上 BC=BD BE⊥CD;
    例11、已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.
       (Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
       (II)若直线 y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点(A、B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证:直线 过定点,并求出该定点的坐标.
    思维流程:
    解:(Ⅰ)由题意设椭圆的标准方程为 ,
     由已知得: ,
            椭圆的标准方程为 .
     (II)设 .
     联立
     得  ,则
     
     又 .
     因为以 为直径的圆过椭圆的右顶点 ,
      ,即 .   .
      .  .
     解得: ,且均满足 .
     当 时, 的方程 ,直线过点 ,与已知矛盾;
     当 时, 的方程为 ,直线过定点 .
     所以,直线 过定点,定点坐标为 .
    点石成金:以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点  CA⊥CB;
    例12、已知双曲线 的左右两个焦点分别为 ,点P在双曲线右支上.
    (Ⅰ)若当点P的坐标为 时, ,求双曲线的方程;
    (Ⅱ)若 ,求双曲线离心率 的最值,并写出此时双曲线的渐进线方程.
    思维流程:
    解:(Ⅰ)(法一)由题意知,  ,   ,
      ,    (1分)
    解得  .  由双曲线定义得: 
      , 
      所求双曲线的方程为:   
     (法二) 因 ,由斜率之积为 ,可得解.
    (Ⅱ)设 ,
     (法一)设P的坐标为 , 由焦半径公式得 , ,  ,
     的最大值为2,无最小值. 此时 ,
     此时双曲线的渐进线方程为                      
    (法二)设 , .
    (1)当 时,  , 
    此时  .
    (2)当 ,由余弦定理得:
        ,
     , ,综上, 的最大值为2,但 无最小值. (以下法一)

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