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  • 高考数学圆锥曲线设而不求法典型试题复习教案

    教案作者:本站   教案来源:本站整理   教案栏目:高三数学教案    收藏本页
    圆锥曲线设而不求法典型试题剪辑
    例1,弧ADB为半圆,AB为直径,O为半圆的圆心,且OD垂直于AB,Q为半径OD的中点,已知AB长为4,曲线C过Q点,动点P在曲线C上运动且始终保持/PA/+/PB/的值不变。过点D的直线与曲线C交于不同的两点M、N,求三角形OMN面积的最大值。 
    例2:已知双曲线x2-y2/2=1,过点M(1,1)作直线L,使L与已知双曲线交于Q1、Q2两点,且点M是线段Q1Q2的中点,问:这样的直线是否存在?若存在,求出L的方程;若不存在,说明理由。
     解:假设存在满足题意的直线L,设Q1(X1,Y1),Q2(X2,Y2)
    代人已知双曲线的方程,得x12- y12/2=1 ①   ,   x22-y22/2=1 ②
    ②-①,得(x2-x1)(x2+x1)-(y2-y1)(y2+y1)/2=0。
    当x1=x2时,直线L的方程为x=1,此时L与双曲线只有一个交点(1,0)不满足题意;
    当x1≠x2时,有(y2-y1)/(x2-x1)=2(x2+x1)/(y2+y1)=2.
    故直线L的方程为y-1=2(x-1)
    检验:由y-1=2(x-1),x2-y2/2=1,得2x2-4x+3=0,其判别式
    ⊿=-8 ﹤0,此时L与双曲线无交点。     综上,不存在满足题意的直线
    例3,已知,椭圆C以过点A(1, ),两个焦点为(-1,0)(1,0)。
    (1) 求椭圆C的方程;
    (2) E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值。  
    (Ⅰ)解 由题意,c=1,可设椭圆方程为 。            
    因为A在椭圆上,所以 ,解得 =3, = (舍去)。
    所以椭圆方程为   .                  
    (Ⅱ)证明  设直线AE方程:得 ,代入 得            
     
    设E( , ),F( , ).因为点A(1, )在椭圆上,
    所以 ,  。                     
    又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数,在上式中以 代 ,可得
     ,  。
    所以直线EF的斜率 。
    即直线EF的斜率为定值,其值为 。                        
    4,已知直线 经过椭圆 的左顶点A和上顶点D,椭圆 的右顶点为 ,点 和椭圆 上位于 轴上方的动点,直线, 与直线 分别交于 两点
    (1)求椭圆 的方程;
    (2)求线段MN的长度的最小值;
     
    解  方法一(1)由已知得,椭圆 的左顶点为 上顶点为
      故椭圆 的方程为
    (2)直线AS的斜率 显然存在,且 ,故可设直线 的方程为 ,
    从而 ,由 得 0,
    设 则 得 ,从而        
    即 又
    由 得  故
    又     
    当且仅当 ,即 时等号成立
     时,线段 的长度取最小值
    例5.已知点 ,  是抛物线 上的两个动点, 是坐标原点,向量 , 满足 .设圆 的方程为
    (1) 证明线段 是圆 的直径;
    (2)当圆C的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为 时,求p的值
    解析:(I)证明1: 
     
    整理得:  ,
    设M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点,则

    整理得:
    故线段 是圆 的直径
    证明2: 
     
    整理得: 
     ……..(1)
    设(x,y)是以线段AB为直径的圆上则

    去分母得: 
    点 满足上方程,展开并将(1)代入得:
     
    故线段 是圆 的直径
    证明3: 
     
    整理得: 
     ……(1)
    以线段AB为直径的圆的方程为
     
    展开并将(1)代入得:
     
    故线段 是圆 的直径
    (II)解法1:设圆C的圆心为C(x,y),则
     
     
    所以圆心的轨迹方程为
    设圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则
     
     
    当y=p时,d有最小值 ,由题设得
     .
    解法2: 设圆C的圆心为C(x,y),则
     
    所以圆心的轨迹方程为
    设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0的距离为 ,则
     
    因为x-2y+2=0与 无公共点,
    所以当x-2y-2=0与 仅有一个公共点时,该点到直线x-2y=0的距离最小值为
     
    将(2)代入(3)得
     
     
    解法3: 设圆C的圆心为C(x,y),则
     
    圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则
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