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  • 高考数学圆锥曲线最经典题型研究教案

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    圆锥曲线最经典题型研究
    第一定义、第二定义、双曲线渐近线等考查
    1、(2010辽宁理数)设双曲线的—个焦点为F;虚轴的—个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐
      近线垂直,那么此双曲线的离心率为
      (A)     (B)     (C)     (D) 
    【答案】D
    2、(2010辽宁理数)设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足.如果直线AF的斜率为 ,那么|PF|=
      (A)     (B)8    (C)     (D) 16
    【答案】B
    3、(2010上海文数)8.动点 到点 的距离与它到直线 的距离相等,则 的轨迹方程为   y28x     。
    4、(2010全国卷2理数)(15)已知抛物线 的准线为 ,过  且斜率为 的直线与 相交于点 ,与 的一个交点为 .若 ,则          .
    若双曲线 - =1(b>0)的渐近线方程式为y= ,则b等于        。
    【答案】1
    5、已知椭圆 的两焦点为 ,点 满足 ,则| |+ |的取值范围为_______,直线 与椭圆C的公共点个数_____。
    6、已知点P是双曲线 右支上一点, 、分别是双曲线的左、右焦点,I为 的内心,若    成立,则双曲线的离心率为(▲   )
    A.4  B.  C.2 D.

    8、(2010重庆理数)(10)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是
    A.   直线        B.     椭圆      C.     抛物线         D. 双曲线
    解析:排除法 轨迹是轴对称图形,排除A、C,轨迹与已知直线不能有交点 ,排除B
     
    9、(2010四川理数)椭圆 的右焦点 ,其右准线与 轴的交点为A,在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点 ,则椭圆离心率的取值范围是
    (A)         (B)          (C)           (D)
    解析:由题意,椭圆上存在点P,使得线段AP的垂直平分线过点 ,
    即F点到P点与A点的距离相等
    而|FA|=
      |PF|∈[a-c,a+c]
    于是 ∈[a-c,a+c]
    即ac-c2≤b2≤ ac+c2


    又e∈(0,1)
    故e∈
    答案:D
    10、(2010福建理数)若点O和点 分别是双曲线 的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则 的取值范围为 (     )
    A.     B.      C.       D.
    【答案】B
    11、(北京市海淀区2010年4月高三第一次模拟考试理科试题)已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点,焦点在 轴上,左右焦点分别为 ,且它们在第一象限的交点为P, 是以 为底边的等腰三角形.若 ,双曲线的离心率的取值范围为 .则该椭圆的离心率的取值范围是        . 
    12、(2010年4月北京市西城区高三抽样测试理科) 已知双曲线 的左顶点为 ,右焦点为 , 为双曲线右支上一点,则 的最小值为___________.    
    13、(北京市东城区2010届高三第二学期综合练习理科)直线 过双曲线  的右焦点且与双曲线的两条渐近线分别交于 , 两点,若原点在以 为直径的圆外,则双曲线离心率的取值范围是            .

    14、(2010全国卷1文数)已知 、 为双曲线C: 的左、右焦点,点P在C上,∠   = ,则
    (A)2     (B)4      (C) 6      (D) 8
    15、(2010全国卷1理数)(9)已知 、 为双曲线C: 的左、右焦点,点P在C上,∠ P = ,则P到x轴的距离为
    (A)       (B)       (C)        (D)
     
    16、(2010重庆理数)(14)已知以F为焦点的抛物线 上的两点A、B满足 ,则弦AB的中点到准线的距离为___________.
    解析:设BF=m,由抛物线的定义知
     
      中,AC=2m,AB=4m,
     直线AB方程为
     与抛物线方程联立消y得
    所以AB中点到准线距离为
    17、(2010上海文数)已知椭圆 的方程为 , 、 和 为 的三个顶点.
    (1)若点 满足 ,求点 的坐标;
    (2)设直线 交椭圆 于 、 两点,交直线 于点 .若 ,证明: 为 的中点;
    (3)设点 在椭圆 内且不在 轴上,如何构作过 中点 的直线 ,使得 与椭圆 的两个交点 、 满足  ?令 , ,点 的坐标是(-8,-1),若椭圆 上的点 、 满足 ,求点 、 的坐标.
    解析:(1)  ;
    (2) 由方程组 ,消y得方程 ,
    因为直线 交椭圆 于 、 两点,
    所以>0,即 ,
    设C(x1,y1)、D(x2,y2),CD中点坐标为(x0,y0),
    则 ,
    由方程组 ,消y得方程(k2k1)xp,
    又因为 ,所以 ,
    故E为CD的中点;
    (3) 因为点P在椭圆Γ内且不在x轴上,所以点F在椭圆Γ内,可以求得直线OF的斜率k2,由 知F为P1P2的中点,根据(2)可得直线l的斜率 ,从而得直线l的方程.
     ,直线OF的斜率 ,直线l的斜率 ,
    解方程组 ,消y:x22x480,解得P1(6,4)、P2(8,3).
    18、(2010全国卷2理数)(21)(本小题满分12分)
        己知斜率为1的直线l与双曲线C: 相交于B、D两点,且BD的中点为 .
       (Ⅰ)求C的离心率;
       (Ⅱ)设C的右顶点为A,右焦点为F, ,证明:过A、B、D三点的圆与x轴相切.
    19、(2010安徽文数)椭圆 经过点 ,对称轴为坐标轴,
    焦点 在 轴上,离心率 。
        (Ⅰ)求椭圆 的方程;
    (Ⅱ)求 的角平分线所在直线的方程。
     
    20、(2010全国卷1理数)(21)(本小题满分12分)
    已知抛物线 的焦点为F,过点 的直线 与 相交于 、 两点,点A关于 轴的对称点为D.
    (Ⅰ)证明:点F在直线BD上;
    (Ⅱ)设 ,求 的内切圆M的方程 .
    21、(2010江苏卷)在平面直角坐标系 中,如图,已知椭圆 的左、右顶点为A、B,右焦点为F。设过点T( )的直线TA、TB与椭圆分别交于点M 、 ,其中m>0, 。
    (1)设动点P满足 ,求点P的轨迹;
    (2)设 ,求点T的坐标;
    (3)设 ,求证:直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)。

    22、在直角坐标系 中,点M到点 的距离之和是4,点M的轨迹是C与x轴的负半轴交于点A,不过点A的直线 与轨迹C交于不同的两点P和Q.
       (I)求轨迹C的方程;
       (II)当 时,求k与b的关系,并证明直线 过 定点.
    解:(1) 的距离之和是4,
     的轨迹C是长轴为4,焦点在x轴上焦中为 的椭圆,
    其方程为  …………3分
      (2)将 ,代入曲线C的方程,
    整理得  
      …………5分
    因为直线 与曲线C交于不同的两点P和Q,
    所以 ①
    设 ,则
       ② ………… 7分
    且 ③
    显然,曲线C与x轴的负半轴交于点A(-2,0),
    所以

    将②、③代入上式,整理得  …………10分
    所以
    即 经检验,都符合条件①
    当b=2k时,直线 的方程为
    显然,此时直线 经过定点(-2,0)点.
    即直线 经过点A,与题意不符.
    当 时,直线 的方程为
    显然,此时直线 经过定点 点,且不过点A.
    综上,k与b的关系是:
    且直线 经过定点 点  …………13分
     
    23、(北京市朝阳区2010年4月高三年级第二学期统一考试理科)(本小题满分13分)
     已知中心在原点,焦点在 轴上的椭圆C的离心率为 ,且经过点 ,过点P(2,1)的直线 与椭圆C在第一象限相切于点M .
        (1)求椭圆C的方程;
       (2)求直线 的方程以及点M的坐标;
       (3))是否存过点P的直线 与椭圆C相交于不同的两点A、B,满足 ?若存在,求出直线l1的方程;若不存在,请说明理由.
    解(Ⅰ)设椭圆C的方程为 ,由题意得
     解得 ,故椭圆C的方程为 .……………………4分
       (Ⅱ)因为过点P(2,1)的直线l与椭圆在第一象限相切,所以l的斜率存在,故可调直线l的议程为 
     由  得 . ①
     因为直线 与椭圆 相切,所以 
     整理 ,得  解得 [
    所以直线l方程为
    将 代入①式,可以解得M点横坐标为1,故切点M坐标为 …………9分
       (Ⅲ)若存在直线l1满足条件,的方程为 ,代入椭圆C的方程得
     
    因为直线l1与椭圆C相交于不同的两点A,B,设A,B两点的坐标分别为
    所以
    所以 .
    又 ,
     因为 即 ,
     所以  .
     即
     所以 ,解得
        因为A,B为不同的两点,所以 .
     于是存在直线 1满足条件,其方程为 ………………………………13分
    24、直线 的右支交于不同的两点A、B.
    (I)求实数k的取值范围;
    (II)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.
    答案:.解:(Ⅰ)将直线
     ……①
    依题意,直线l与双曲线C的右支交于不同两点,故
     
    (Ⅱ)设A、B两点的坐标分别为 、 ,则由①式得
     ……②
    假设存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0).
    则由FA⊥FB得:
     
    整理得
     ……③
    把②式及 代入③式化简得
     
    解得
    可知 使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点.

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