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  • 复数的加法与减法-教学教案

    教案作者:佚名   教案来源:不详   教案栏目:高三数学教案    收藏本页

    教学目标

       (1)掌握复数加法与减法运算法则,能熟练地进行加、减法运算;

      (2)理解并掌握复数加法与减法的几何意义,会用平行四边形法则和三角形法则解决一些简单的问题;

      (3)能初步运用复平面两点间的距离公式解决有关问题;

      (4)通过学习平行四边形法则和三角形法,培养学生的数形结合的数学思想;

      (5)通过本节内容的学习,培养学生良好思维品质(思维的严谨性,深刻性,灵活性等).


    教学建议

    一、知识结构

    二、重点、难点分析

      本节的重点是复数加法法则。难点是复数加减法的几何意义。复数加法法则是教材首先规定的法则,它是复数加减法运算的基础,对于这个规定的合理性,在教学过程中要加以重视。复数加减法的几何意义的难点在于复数加减法转化为向量加减法,以它为根据来解决某些平面图形的问题,学生对这一点不容易接受。

    三、教学建议

      (1)在复数的加法与减法中,重点是加法.教材首先规定了复数的加法法则.对于这个规定,应通过下面几个方面,使学生逐步理解这个规定的合理性:①当 时,与实数加法法则一致;②验证实数加法运算律在复数集中仍然成立;③符合向量加法的平行四边形法则.
      (2)复数加法的向量运算讲解设 ,画出向量 , 后,提问向量加法的平行四边形法则,并让学生自己画出和向量(即合向量) ,画出向量 后,问与它对应的复数是什么,即求点Z的坐标OR与RZ(证法如教材所示).
      (3)向学生介绍复数加法的三角形法则.讲过复数加法可按向量加法的平行四边形法则来进行后,可以指出向量加法还可按三角形法则来进行:如教材中图8-5(2)所示,求 与 的和,可以看作是求 与 的和.这时先画出第一个向量 ,再以 的终点为起点画出第二个向量 ,那么,由第一个向量起点O指向第二个向量终点Z的向量 ,就是这两个向量的和向量.
      (4)向学生指出复数加法的三角形法则的好处.向学生介绍一下向量加法的三角形法则是有好处的:例如讲到当 与 在同一直线上时,求它们的和,用三角形法则来解释,可能比“画一个压扁的平行四边形”来解释容易理解一些;讲复数减法的几何意义时,用三角形法则也较平行四边形法则更为方便.
      (5)讲解了教材例2后,应强调 (注意:这里 是起点, 是终点)就是同复数 对应的向量.点 之间的距离 就是向量 的模,也就是复数 的模,即

      例如,起点对应复数-1、终点对应复数 的那个向量(如图),可用 来表示.因而点 )点间的距离就是复数     的模,它等于

     

    教学设计示例

    复数的减法及其几何意义

          教学目标

      1.理解并掌握复数减法法则和它的几何意义.

      2.渗透转化,数形结合等数学思想和方法,提高分析、解决问题能力.

      3.培养学生良好思维品质(思维的严谨性,深刻性,灵活性等).

    教学重点和难点

      重点:复数减法法则.

      难点:对复数减法几何意义理解和应用.

    教学过程设计

    (一)引入新课

      上节课我们学习了复数加法法则及其几何意义,今天我们研究的课题是复数减法及其几何意义.(板书课题:复数减法及其几何意义)

    (二)复数减法

      复数减法是加法逆运算,那么复数减法法则为( + i)-( + i)=( - )+( - )i,

    1.复数减法法则

      (1)规定:复数减法是加法逆运算;

      (2)法则:( + i)-( + i)=( - )+( - )i( ∈R).

      把( + i)-( + i)看成( + i)+(-1)( + i)如何推导这个法则.

    + i)-( + i)=( + i)+(-1)( + i)=( + i)+(- - i)=( - )+( - )i.

      推导的想法和依据把减法运算转化为加法运算.

      推导:设( + i)-( + i)= + i( ∈R).即复数 + i为复数 + i减去复数 + i的差.由规定,得( + i)+( + i)= + i,依据加法法则,得( + )+( + )i= + i,依据复数相等定义,得

      故( + i)-( + i)=( - )+( - )i.这样推导每一步都有合理依据.

      我们得到了复数减法法则,两个复数的差仍是复数.是唯一确定的复数.

      复数的加(减)法与多项式加(减)法是类似的.就是把复数的实部与实部,虚部与虚部分别相加(减),即( + i)±( + i)=( ± )+( ± )i.

    (三)复数减法几何意义

      我们有了做复数减法的依据——复数减法法则,那么复数减法的几何意义是什么?
      设z= + i( ∈R),z1= + i( ∈R),对应向量分别为 , 如图

      由于复数减法是加法的逆运算,设z=( - )+( - )i,所以z-z1=z2,z2+z1=z,由复数加法几何意义,以 为一条对角线, 1为一条边画平行四边形,那么这个平行四边形的另一边 2所表示的向量OZ2就与复数z-z1的差( - )+( - )i对应,如图.

      在这个平行四边形中与z-z1差对应的向量是只有向量 2吗? 

      还有 . 因为OZ2 Z1Z,所以向量 ,也与z-z1差对应.向量 是以Z1为起点,Z为终点的向量.

      能概括一下复数减法几何意义是:两个复数的差z-z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.

    (四)应用举例

      

      

      在直角坐标系中标Z1(-2,5),连接OZ1,向量 1与多数z1对应,标点Z2(3,2),Z2关于x轴对称点Z2(3,-2),向量 2与复数对应,连接,向量与的差对应(如图).

      例2 根据复数的几何意义及向量表示,求复平面内两点间的距离公式.

      解:设复平面内的任意两点Z1,Z2分别表示复数z1,z2,那么Z1Z2就是复数对应的向量,点之间的距离就是向量的模,即复数z2-z1的模.如果用d表示点Z1,Z2之间的距离,那么d=|z2-z1|.

      例3  在复平面内,满足下列复数形式方程的动点Z的轨迹是什么.

      (1)|z-1-i|=|z+2+i|;

      方程左式可以看成|z-(1+i)|,是复数Z与复数1+i差的模.

      几何意义是是动点Z与定点(1,1)间的距离.方程右式也可以写成|z-(-2-i)|,是复数z与复数-2-i差的模,也就是动点Z与定点(-2,-1)间距离.这个方程表示的是到两点(+1,1),(-2,-1)距离相等的点的轨迹方程,这个动点轨迹是以点(+1,1),(-2,-1)为端点的线段的垂直平分线.

      (2)|z+i|+|z-i|=4;

      方程可以看成|z-(-i)|+|z-i|=4,表示的是到两个定点(0,-1)和(0,1)距离和等于4的动点轨迹.满足方程的动点轨迹是椭圆.

      (3)|z+2|-|z-2|=1.

      这个方程可以写成|z-(-2)|-|z-2|=1,所以表示到两个定点(-2,0),(2,0)

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