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  • 数学教案-充分条件与必要条件-教学教案

    教案作者:佚名   教案来源:不详   教案栏目:高一数学教案    收藏本页

    教学目标

      (1)正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念;
      (2)能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件;
      (3)培养学生的逻辑思维能力及归纳总结能力;
      (4)在充要条件的教学中,培养等价转化思想.

    教学建议

    (一)教材分析

    1.知识结构

      首先给出推断符号“ ”,并引出充分条件与必要条件的意义,在此基础上讲述了充要条件的初步知识.

    2.重点难点分析

      本节的重点与难点是关于充要条件的判断.

      (1)充分但不必要条件、必要但不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件是重要的数学概念,主要用来区分命题的条件 和结论 之间的因果关系.

      (2)在判断条件 和结论 之间的因果关系中应该:

      ①首先分清条件是什么,结论是什么;

      ②然后尝试用条件推结论,再尝试用结论推条件.推理方法可以是直接证法、间接证法(即反证法),也可以举反例说明其不成立;

      ③最后再指出条件是结论的什么条件.

      (3)在讨论条件 和条件 的关系时,要注意:

      ①若 ,但 ,则 的充分但不必要条件;

      ②若 ,但 ,则 的必要但不充分条件;

      ③若 ,且 ,则 的充要条件;

      ④若 ,且 ,则 的充要条件;

      ⑤若 ,且 ,则 的既不充分也不必要条件.

      (4)若条件 以集合 的形式出现,结论 以集合 的形式出现,则借助集合知识,有助于充要条件的理解和判断.

      ①若 ,则 的充分条件;

      显然,要使元素 ,只需 就够了.类似地还有:

      ②若 ,则 的必要条件;

      ③若 ,则 的充要条件;

      ④若 ,且 ,则 的既不必要也不充分条件.

      (5)要证明命题的条件是充要条件,就既要证明原命题成立,又要证明它的逆命题成立.证明原命题即证明条件的充分性,证明逆命题即证明条件的必要性.由于原命题 逆否命题,逆命题 否命题,当我们证明某一命题有困难时,可以证明该命题的逆否命题成立,从而得出原命题成立.

    (二)教法建议

      1.学习充分条件、必要条件和充要条件知识,要注意与前面有关逻辑初步知识内容相联系.充要条件中的 与四种命题中的 要求是一样的.它们可以是简单命题,也可以是不能判断真假的语句,也可以是含有逻辑联结词或“若 ”形式的复合命题.

      2.由于这节课概念性、理论性较强,一般的教学使学生感到枯燥乏味,为此,激发学生的学习兴趣是关键.教学中始终要注意以学生为主,让学生在自我思考、相互交流中去结概念“下定义”,去体会概念的本质属性.

      3.由于“充要条件”与命题的真假、命题的条件与结论的相互关系紧密相关,为此,教学时可以从判断命题的真假入手,来分析命题的条件对于结论来说,是否充分,从而引入“充分条件”的概念,进而引入“必要条件”的概念.

      4.教材中对“充分条件”、“必要条件”的定义没有作过多的解释说明,为了让学生能理解定义的合理性,在教学过程中,教师可以从一些熟悉的命题的条件与结论之间的关系来认识“充分条件”的概念,从互为逆否命题的等价性来引出“必要条件”的概念.

     

    教学设计示例

    充要条件

    教学目标

      (1)正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念;

      (2)能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件;

      (3)培养学生的逻辑思维能力及归纳总结能力;

      (4)在充要条件的教学中,培养等价转化思想.

    教学重点难点:关于充要条件的判断

    教学用具:幻灯机或实物投影仪

    教学过程设计

    1.复习引入

      练习:判断下列命题是真命题还是假命题(用幻灯投影):

      (1)若 ,则

      (2)若 ,则

      (3)全等三角形的面积相等;

      (4)对角线互相垂直的四边形是菱形;

      (5)若 ,则

      (6)若方程 有两个不等的实数解,则

    (学生口答,教师板书.)

      (1)、(3)、(6)是真命题,(2)、(4)、(5)是假命题.

      置疑:对于命题“若 ,则 ”,有时是真命题,有时是假命题.如何判断其真假的?

      答:看 能不能推出 ,如果 能推出 ,则原命题是真命题,否则就是假命题.

      对于命题“若 ,则 ”,如果由 经过推理能推出 ,也就是说,如果 成立,那么 一定成立.换句话说,只要有条件 就能充分地保证结论 的成立,这时我们称条件 成立的充分条件,记作

      2.讲授新课

      (板书充分条件的定义.)

      一般地,如果已知 ,那么我们就说 成立的充分条件.

      提问:请用充分条件来叙述上述(1)、(3)、(6)的条件与结论之间的关系.

    (学生口答)

      (1)“ ,”是“ ”成立的充分条件;

      (2)“三角形全等”是“三角形面积相等”成立的充分条件;

      (3)“方程 的有两个不等的实数解”是“ ”成立的充分条件.

      从另一个角度看,如果 成立,那么其逆否命题 也成立,即如果没有 ,也就没有 ,亦即 成立的必须要有的条件,也就是必要条件.

    (板书必要条件的定义.)

      提出问题:用“充分条件”和“必要条件”来叙述上述6个命题.

    (学生口答).

      (1)因为 ,所以 的充分条件, 的必要条件;

      (2)因为 ,所以 的必要条件, 的充分条件;

      (3)因为“两三角形全等” “两三角形面积相等”,所以“两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件,“两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件;

      (4)因为“四边形的对角线互相垂直” “四边形是菱形”,所以“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的必要条件,“四边形是菱形”是“四边形的对角线互相垂直”的充分条件;

      (5)因为 ,所以 的必要条件, 的充分条件;

      (6)因为“方程 的有两个不等的实根” ”,而且“方程 的有两个不等的实根” ”,所以“方程 的有两个不等的实根”是“ ”充分条件,而且是必要条件.

      总结:如果 的充分条件, 又是 的必要条件,则称 的充分必要条件,简称充要条件,记作

    (板书充要条件的定义.)

    3.巩固新课

      例1  (用投影仪投影.)

    B

    AB的什么条件

    B 的什么条件

    是有理数

    是实数

       

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