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  • 22.3 实际问题与一元二次方程(4)

    教案作者:本站   教案来源:本站整理   教案栏目:初三数学教案    收藏本页


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    教学内容
        运用速度、时间、路程的关系建立一元二次方程数学模型解决实际问题.
        教学目标
        掌握运用速度、时间、路程三者的关系建立数学模型并解决实际问题.
        通过复习速度、时间、路程三者的关系,提出问题,用这个知识解决问题.
        重难点关键
        1.重点:通过路程、速度、时间之间的关系建立数学模型解决实际问题.
        2.难点与关键:建模.
        教学过程
        一、复习引入
        路程、速度和时间三者的关系是什么?
        二、探究新知
        我们这一节课就是要利用同学们刚才所回答的“路程=速度×时间”来建立一元二次方程的数学模型,并且解决一些实际问题.
        请思考下面的二道例题.
        例1.某辆汽车在公路上行驶,它行驶的路程s(m)和时间t(s)之间的关系为:s=10t+3t2,那么行驶200m需要多长时间?
        分析:这是一个加速运运,根据已知的路程求时间,因此,只要把s=200代入求关系t的一元二次方程即可.
        解:当s=200时,3t2+10t=200,3t2+10t-200=0
        解得t= (s)
        答:行驶200m需 s.
        例2.一辆汽车以20m/s的速度行驶,司机发现前方路面有情况,紧急刹车后汽车又滑行25m后停车.
        (1)从刹车到停车用了多少时间?
        (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少?
        (3)刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间(精确到0.1s)?
        分析:(1)刚刹车笔彼倩故?0m/s,以后逐渐减少,停车时时速为0.因为刹车以后,其速度的减少都是受摩擦力而造成的,所以可以理解是匀速的,因此,其平均速度为 =10m/s,那么根据:路程=速度×时间,便可求出所求的时间.
        (2)很明显,刚要刹车时车速为20m/s,停车车速为0,车速减少值为20-0=20,因为车速减少值20,是在从刹车到停车所用的时间内完成的,所以20除以从刹车到停车的时间即可.
        (3)设刹车后汽车滑行到15m时约用除以xs.由于平均每秒减少车速已从上题求出,所以便可求出滑行到15米的车速,从而可求出刹车到滑行到15m的平均速度,再根据:路程=速度×时间,便可求出x的值.
        解:(1)从刹车到停车所用的路程是25m;从刹车到停车的平均车速是 =10(m/s)那么从刹车到停车所用的时间是 =2.5(s)
        (2)从刹车到停车车速的减少值是20-0=20    从刹车到停车每秒平均车速减少值是 =8(m/s)(3)设刹车后汽车滑行到15m时约用了xs,这时车速为(20-8x)m/s
        则这段路程内的平均车速为 =(20-4x)m/s
        所以x(20-4x)=15
        整理得:4x2-20x+15=0
        解方程:得x=
        x1≈4.08(不合,舍去),x2≈0.9(s)
        答:刹车后汽车行驶到15m时约用0.9s.
        三、巩固练习
        (1)同上题,求刹车后汽车行驶10m时约用了多少时间.(精确到0.1s)
        (2)刹车后汽车行驶到20m时约用了多少时间.(精确到0.1s)
        四、应用拓展
        例3.如图,某海军基地位于a处,在其正南方向200海里处有一重要目标b,在b的正东方向200海里处有一重要目标c,小岛d位于ac的中点,岛上有一补给码头:小岛f位于bc上且恰好处于小岛d的正南方向,一艘军舰从a出发,经b到c匀速巡航,一般补给船同时从d出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰.
        (1)小岛d和小岛f相距多少海里?
        (2)已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由b到c的途中与补给船相遇于e处,那么相遇时补给船航行了多少海里?(结果精确到0.1海里)
        分析:(1)因为依题意可知△abc是等腰直角三角形,△dfc也是等腰直角三角形,ac可求,cd就可求,因此由勾股定理便可求df的长.
        (2)要求补给船航行的距离就是求de的长度,df已求,因此,只要在rt△def中,由勾股定理即可求.
        解:(1)连结df,则df⊥bc
        ∵ab⊥bc,ab=bc=200海里.
        ∴ac= ab=200 海里,∠c=45°
        ∴cd= ac=100 海里
        df=cf, df=cd
        ∴df=cf= cd= ×100 =100(海里)
        所以,小岛d和小岛f相距100海里.
        (2)设相遇时补给船航行了x海里,那么de=x海里,ab+be=2x海里,
        ef=ab+bc-(ab+be)-cf=(300-2x)海里
        在rt△def中,根据勾股定理可得方程
        x2=1002+(300-2x)2
        整理,得3x2-1200x+100000=0
        解这个方程,得:x1=200- ≈118.4
        x2=200+ (不合题意,舍去) 所以,相遇时补给船大约航行了118.4海里.
        五、归纳小结
        本节课应掌握:运用路程=速度×时间,建立一元二次方程的数学模型,并解决一些实际问题.
        六、作业
        一、选择题
        1.一个两位数等于它的个位数的平方,且个位数字比十位数字大3,则这个两位数为(  ).
        a.25      b.36      c.25或36     d.-25或-36
        2.某种出租车的收费标准是:起步价7元(即行驶距离不超过3km都需付7元车费);超过3km以后,每增加1km,加收2.4元(不足1km按1km计),某人乘出租车从甲地到乙地共支付车费19元,则此人从甲地到乙地经过的路程(  ).
        a.正好8km    b.最多8km    c.至少8km     d.正好7km
        二、填空题
        1.以大约与水平成45°角的方向,向斜上方抛出标枪,抛出的距离s(单位:m)与标枪出手的速度v(单位:m/s)之间大致有如下关系:s= +2    如果抛出40m,那么标枪出手时的速度是________(精确到0.1)
        2.一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动,通过仪器观察得到小球滚动的距离s(m)与时间t(s)的数据如下:
    时间t(s)
    1
    2
    3
    4
    ……
    距离s(m)
    2
    8
    18
    32
    ……
        写出用t表示s的关系式为_______.
        三、综合提高题
        1.一个小球以10m/s的速度在平坦地面上开始滚动,并且均匀减速,滚动20m后小球停下来.
        (1)小球滚动了多少时间?
        (2)平均每秒小球的运动速度减少多少?
        (3)小球滚动到5m时约用了多少时间(精确到0.1s)?
        2.某军舰以20节的速度由西向东航行,一艘电子侦察船以30节的速度由南向北航行,它能侦察出周围50海里(包括50海里)范围内的目标.如图,当该军舰行至a处时,电子侦察船正位于a处正南方向的b处,且ab=90海里,如果军船和侦察船仍按原速度沿原方向继续航行,那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军舰?如果能,最早何时能侦察到?如果不能,请说明理由.
        答案:
        一、1.c  2.b
        二、1.19.3m/s  2.s=2t2
        三、
        1.(1)小球滚动的平均速度= =5(m/s)  小球滚动的时间: =4(s)
        (2) =2.5(m/s)
        (3)小球滚动到5m时约用了xs  平均速度= =  依题意,得:x· =5,整理得:x2-8x+4=0
        解得:x=4±2 ,所以x=4-2
        2.能.设侦察船最早由b出发经过x小时侦察到军舰,则(90-30x)2+(20x)2=502
        整理,得:13x2-54x+56=0,即(13x-28)(x-2)=0,x1=2 ,x2=2,
        ∴最早再过2小时能侦察到.

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