数学教学中要善于挖掘逆向思维训练素材

数学教学中要善于挖掘逆向思维训练素材

会宁县郭城农业中学   周旭东

逆向思维，是与人们长期形成的思维习惯相悖的思维方式，具有很强的创造性。数学史上，正是由于探求尺规三等分任意角的失败，才使人们从反面论证了其作法的不可能性；非欧几何的诞生，更是逆向思维的伟大杰作。实践证明，逆向思维可使人的大脑产生强烈的兴奋感。因此，在数学教学中，注重对学生的逆向思维训练，对激发学生的学习兴趣，培养学生良好的思维品质是十分必要的，也是非常重要的。教学中要善于挖掘逆向思维训练素材，不失时机的对学生进行训练。笔者在长期教学活动中特别注重从以下几方面挖掘逆向思维素材。

一 、 概念教学中

“定义法”是常见的一种解题方法，定义的逆用，往往更能有效的解决问题，更能使学生深刻理解概念的本质。

例1        已知函数f（x）单调递减的奇函数，x 且f（a）+f（a ）＞0，求a的范围。

解:   f（a）+ f（a ）＞0 可变为f（a）＞-f（a ）。

  f（x）是奇函数，有 f（-x）=-f（x）。

  f（a）＞-f（a ）= f（-a ） （逆用奇函数定义）

又  f（x）为减函数，

 a ＜a  （逆用减函数定义）

从而解得  -1〈a〈0 。

逆用定义，不仅“吸收”了-f（a ）前的“-”号,“剥去”了f(a)> f（a ）的”壳”,而且更能使学深刻理解奇函数,减函数概念的意义.

二 、 公式 法则教学中

对于公式法则既要掌握其正用，又要灵活掌握其逆用变用。逆用和变用就是逆向思维。

例2        化简 2lg -lg7+2lg3+ lg  .

解:  逆用对数运算法则：

原式=lg =lg100=2.

例3        化简 sin(36 +2x)cos(54 -2x)+cos(36 +2x)sin(54 -2x).

解：  逆用和角正弦公式：

原式= sin[(36 +2x)+(54 -x)]=sin90 =1.

三  数学方法教学中

1．反证法   被誉为数学家最精良的武器之一，是从假设结论的反面出发，推出矛盾，从而推翻假设，肯定原结论的一种证明方法。这种应用逆向思维的证明方法，可使许多问题的解决相当简捷且更具说服力。

2．分析法   分析法的实质是“执果索因”。即从结论出发，探求使其成立的充分条件，判定条件具备，从而肯定结论成立。这也是逆向思维的具体运用。

3．待定系数法

例4   已知f（x）= 8x +12x -6x -11 x +3x +3x-1，且f（x）是另一个整系数多项式g(x) 的立方，求g(x).

分析  由多项式理论可知，g(x) 必为二次多项式，且二次项系数为2，常数项为-1，现只需求一次项系数。为此，将g(x)据其特征先设为g(x)=2x +bx-1,然后将其代入题设条件，使其“活化”，从而解出b.

解：  设g(x)= 2x +bx-1

则8x +12x -6x -11 x +3x +3x-1=(2x +bx-1)

令x=1,得8=(b+1) ,b=1

∴g(x)= 2x +x-1.

4. 换元法（代换法）  这也是常见的一种解题方法。有些问题往往需根据其结构特征，逆向寻求代换，将问题转化，有“柳暗花明”之效。

例5  证明：任给七个实数中，必存在两个实数a和b,满足0≤ （a-b）＜1+ab.

分析  此题为存在性问题，本难解决。但若将结论变形为0≤ ≤ 时，对 寻求与其结构相似的式子，有 =tan( )，因而考虑三角代换。

证明：  设 x =tan , ∈(- , ), k=1,2, …,7。为任意七个实数.

      将(- , )分成六个长度相等的小区间：

（- ，- ]、（- ，- ]、（- ，0]、（0， ]、（ ， ]、（ , ）.

这时，七个 中至少有两个落入同一个小区间内

设其中的 和 落在同一个小区间内，不妨设 ≥

则有0≤tan( - )＜tan

即0≤ ＜

令a=tan ,b=tan ,有0≤ ＜

由a≥b知1+ab＞0,存在a、b满足0≤ (a-b）＜1+ab.

5．间接法（排除法）有些问题其正面情况比较复杂，较难入手，但若逆向考虑其反面，便能很快得解。这种方法通常被人们习惯的称为间接法或排除法.

 例6  有关于x的三个方程x +4mx+3=0; x +(m-1)x+m =0; x +2mx-2m=0.它们中至少一个有实根，求实数m的范围。

分析  “至少一个有实根”包括只有一个有实根；其中两个方程有实根；三个方程都有实根三种情况。但我们考虑问题的反面：m为何实数时，三个方程均无实根。问题变得简单易解。

解：  若三个方程均无实根，则有

  - ＜m＜-1

其补集m≤- 或 m≥ -1 为所求m的取值范围。

6．运算技巧教学中

例7  化简

解；  原式=

=

=cos10 -sin10

式子的化简或证明，一般遵循“由繁到简”的原则。但为达整体化简的目的，有时需做“有简到繁”的工作。如本例中的“1”。

例8        求和  1 +2 +3 +…+n .

  解：∵（k+1） -k =3k +3k+1，将k=1,2,3,…,n分别代入后迭加得到

（n+1） -1

=3(1 +2 +3 +…+n )+3(1+2+3+…+n)+n

=3(1 +2 +3 +…+n )+ +n

∴1 +2 +3 +…+n =[(n+1) - 1- - n]= n(n+1)(2n+1).

习惯上，总是试图“降次”、“降维”，但有些情况却恰恰需要去考察问题的更高级。再如几何中的“等积分”等。

例9        有甲乙丙三堆火柴，首先从甲堆中拿出等于乙丙两堆之和的火柴，并按乙丙两堆火柴数分别放入乙丙两堆中，乙堆中取处等于甲丙两堆火柴之和的火柴，并按甲丙两堆的火柴数分别放入甲丙两堆中，最后从丙堆中取出等于甲乙两堆之和的火柴，并按甲乙两堆火柴数分别放入甲乙两堆中.这时三堆火柴均为8根，问各堆原有几根火柴？

分析  此问题中，由最后各堆均有8根火柴知道，共有24根火柴，前后3次调整，我们按照与活动顺序相反的方向去考虑。

                                         甲      乙     丙

 火柴原来各堆分别是甲13根，乙7根，丙4根。

可见，有些问题按其发生顺序去解，令人茫然，若从结果逆推，极易得解。

四、反例

数学离不开猜想 假设，但有些猜想往往是错误的。若从正面证明其错误性，又相当困难。但如果能找出反例，便可轻而易举的将其推翻。如费尔马对F =2 +1算出当n=1,2,3时，F 、F 、F 是质数，就猜想当n为任意数时，F =2 +1都是质数。欧拉对其感到怀疑，1732年他举出当n=5时，2 +1=641×6700417不是质数，否定了费尔马的猜想。

反例，在解诸如填空 判断 选择题时，更是一种简单易行的方法；在解题后，对解题过程和结果的检验，也是一种行之有效的方法；在审题时，可帮助我们找出由于种种原因而出现的错题，以避免浪费精力和时间。如此等等，不能低估了反例的作用。

数学被誉为“思维体操”，思维的多样性 灵活性更是其显著特点。以上所谈逆向思维训练素材，仅是“管中窥豹”。我们在教学中应深入广泛地挖掘思维素材，对学生进行有效的训练，从而培养学生良好的思维品质，提高学生的数学素养。